7 replies to this topic

[kunkute]

Cho m,n là các số dương thỏa mãn:m+n=1
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$

[WhjteShadow]

Cho m,n là các số dương thỏa mãn:m+n=1
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$

Do $2=2^{m}.2^{n}$ thì ta có thể viết lại điều phải chứng minh thành:
$$(2m)^{m}.(2n)^{n}\geq 1$$
Thật tự nhiên, ta muốn áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$ để khử đi số mũ khó chịu kia. Nhưng $m,n<1$ nên ta không thể áp dụng trực tiếp $Bernoulli$.
Nhưng với một biến đổi nhỏ, ta có thể biến điều không thể thành có thể :")
$(2m)^{m}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2m}\right)^{m}}\geq \frac{1}{\frac{1}{2}+1-m}=\frac{2}{3-2m}$
Tương tự và nhân lại, cuối cùng ta phải chỉ ra:
$$4\geq (3-2m)(3-2n)$$
$$\Leftrightarrow 6(m+n)+4\geq 9+4mn$$
$$\Leftrightarrow 4mn\leq 1=(m+n)^2$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $m=m=\frac{1}{2}$ $\heartsuit$ ...

Edited by WhjteShadow, 21-12-2012 - 12:25.

[kunkute]

Do $2=2^{m}.2^{n}$ thì ta có thể viết lại điều phải chứng minh thành:
$$(2m)^{m}.(2n)^{n}\geq 1$$
Thật tự nhiên, ta muốn áp dụng bất đẳng thức $Bernoulli$ để khử đi số mũ khó chịu kia. Nhưng $m,n<1$ nên ta không thể áp dụng trực tiếp $Bernoulli$.
Nhưng với một biến đổi nhỏ, ta có thể biến điều không thể thành có thể :")
$(2m)^{m}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{2m}\right)^{m}}\geq \frac{1}{\frac{1}{2}+1-m}=\frac{2}{3-2m}$
Tương tự và nhân lại, cuối cùng ta phải chỉ ra:
$$4\geq (3-2m)(3-2n)$$
$$\Leftrightarrow 6(m+n)+4\geq 9+4mn$$
$$\Leftrightarrow 4mn\leq 1=(m+n)^2$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng the0 $AM-GM$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $m=m=\frac{1}{2}$ $\heartsuit$ ...

Bất đẳng thức Bernoulli được sử dụng trực tiếp khi nào nhỉ?Thi học sinh giỏi có cho sử dụng trực tiếp(k cần CM) hay không?

Edited by kunkute, 21-12-2012 - 14:57.

[kunkute]

BĐT này lớp mấy thì được sử dụng nhỉ?Thi đại học có cho dùng tt k?

[thanh hai nguyen]

cho mình hỏi bđt becnoulli áp dụng cho cả số mũ thực hả. Mà ở bài trên bạn áp dụng thế nào vậy. please cụ thể đựơc không . Thanks rất nhiều
!

[Ispectorgadget]

cho mình hỏi bđt becnoulli áp dụng cho cả số mũ thực hả. Mà ở bài trên bạn áp dụng thế nào vậy. please cụ thể đựơc không . Thanks rất nhiều
!

Bạn xem BĐT này ở đây nhé.
BĐT Bernoulli là BĐT khá quan trọng chỉ sau 2 BĐT Cauchy và Bunhiacopski thôi.
Thật ra BĐT này thường thì lớp 11 được giới thiệu trong bài quy nạp. Đi thi ĐH thì cần phải chứng minh lại nhưng chứng minh lại BĐT này rất đơn giản mất khoảng chưa tới 35 giây đâu bạn.

[snowwhite]

Cách này trâu nè, tuy trâu nhưng bí quá mới phải dùng đến
Đề bài cho m,n dương và $m+n=1$ nên ta có thể đặt $m=0.5+x$ và $n=0.5-x$ $(-0.5<x<0.5)$
BPT trở thành $(0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x} \geq 0.5$
Xét $f(x) = (0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x}$trên $(-0.5;0.5)$
Ta có $f'(x) = (0.5+x)^{0.5+x}(0.5-x)^{0.5-x}(\ln\frac{0.5+x}{0.5-x})$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0 $
BBT
....
.....
Ko có BBT nhưng chắc các bạn cũng bik $f(x)$ đạt giá trị trị nhỏ nhất tại x=0 , $f(x)$min = 0.5
Vậy ta suy ra đpcm
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ x = 0 $\Rightarrow$m = n =0.5
Không biết mình có tính đúng đạo hàm không nữa, các bạn tính lại đạo hàm xem sao...trâu

[robin997]

Cho m,n là các số dương thỏa mãn:m+n=1
CM:$2.m^{m}.n^{n}\geq 1$

Dạng này dùng BĐT hàm lồi, hàm lõm cũng được mà ^^~
-Có:
$ln(LHS)=ln2+f(m)+f(n)$
Với $f(x)=x.lnx\Rightarrow f''(x)=\frac{1}{x} >0\forall x>0$, lồi trên $R^+$
Do đó,theo BĐT Jensen, có:
$ln(LHS)\geq ln2+2.f(\frac{m+n}{2})=ln2+ln\frac{1}{2}=0$
Do đó: $LHS\geq 1$ $(Q.e.d:')$

Edited by robin997, 23-12-2012 - 12:21.