Bài toán:Cho $a,b,c> 0$ thỏa $a+b+c=1$.Chứng minh:
$$P=10(a^{3}+b^{3}+c^{3})-9(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq 1$$
$P=10(a^{3}+b^{3}+c^{3})-9(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq 1$
Bắt đầu bởi ducthinh26032011, 21-12-2012 - 23:45
#2
Đã gửi 22-12-2012 - 00:50
hoangkkk
-
- Thành viên
-
- 83 Bài viết
Hạ sĩ
Giả sử $c=\max (a,b,c)$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$$ \left ( 9a^5-10a^3 \right )+\left ( 9c^5-10c^3 \right )+\left ( 9c^5-10c^3 \right )\leq -1$$
Xét hàm $f(t)=9t^5-10t^3$ ,$t\in \left ( 0,1 \right )$. Ta có : $f''(t)=60t(3t^2-1)$, vậy $f$ là hàm lõm với $t \in \left (0;\frac {1}{3} \right)$ và là hàm lồi với $t\in \left ( \frac{1}{3};1 \right )$.
Áp dụng định lý LCRCF ta có $f$ đạt $\max $ khi và chỉ khi $a=b \leq c$.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $2f(a)+f\left ( c \right ) \leq -1$ với chú ý $2a+c=1$ và $a \leq \frac {1}{3}$
Điều này tương đương với :
$$-270a^5+720a^4-660a^3+240a^2-30a \leq 0$$
$$ -a(1-3a)^{2}(a-1)^{2} \leq 0$$ luôn đúng với $0< a \leq \frac {1}{3}$
$$ \left ( 9a^5-10a^3 \right )+\left ( 9c^5-10c^3 \right )+\left ( 9c^5-10c^3 \right )\leq -1$$
Xét hàm $f(t)=9t^5-10t^3$ ,$t\in \left ( 0,1 \right )$. Ta có : $f''(t)=60t(3t^2-1)$, vậy $f$ là hàm lõm với $t \in \left (0;\frac {1}{3} \right)$ và là hàm lồi với $t\in \left ( \frac{1}{3};1 \right )$.
Áp dụng định lý LCRCF ta có $f$ đạt $\max $ khi và chỉ khi $a=b \leq c$.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $2f(a)+f\left ( c \right ) \leq -1$ với chú ý $2a+c=1$ và $a \leq \frac {1}{3}$
Điều này tương đương với :
$$-270a^5+720a^4-660a^3+240a^2-30a \leq 0$$
$$ -a(1-3a)^{2}(a-1)^{2} \leq 0$$ luôn đúng với $0< a \leq \frac {1}{3}$
A2K40-er
My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
