Chủ đề này có 2 trả lời

[Poseidont]

Bài 1/Cho các số thực không âm a,b,c sao cho không có $2$ số nào cùng bằng $0$.Chứng minh rằng
$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
Bài 2/ Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$
$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
(Cũng đã lâu rồi nhưng cũng rất hay, @Đạt: không cần chuẩn hóa và rất cổ điển)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 22-12-2012 - 20:16

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 2/ Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$
$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
(Cũng đã lâu rồi nhưng cũng rất hay, @Đạt: không cần chuẩn hóa và rất cổ điển)

Ta có : $\frac{1}{b^2+bc+c^2}= \frac{ab+bc+ca}{(b^2+bc+c^2)(ab+bc+ca)}\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{(b^2+bc+c^2+ab+bc+ca)^2}$
$$= \frac{4(ab+bc+ca)}{(b+c)^2(a+b+c)^2}$$
Tương tự rồi cộng vào ta cần chứng minh :
$\frac{4(ab+bc+ca)}{(b+c)^2(a+b+c)^2}+\frac{4(ab+bc+ca)}{(c+a)^2(a+b+c)^2}+\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$
Đúng theo $IRan96$

[Poseidont]

Mình nói là không phức tạp vấn đề mà ( đi thi thế chết liền)
Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
$\sum \frac{\sum a^2+\sum ab}{b^2+bc+c^2}=1+\frac{a.\sum a}{b^2+bc+ca}$
$=3+\sum a.\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}$
BĐT$\Leftrightarrow 3+\sum a.\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{9(\sum a^2+\sum ab)}{(\sum a)^2}$
Mặt khác theo Cauchy-Schwarz , ta có
$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{a(b^2+bc+c^2)}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a.\sum
ab}=\frac{\sum a}{\sum ab}$
Ta chỉ cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 6 $ (Luôn đùng theo AM-GM
$\square .$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 23-12-2012 - 09:18