Chủ đề này có 9 trả lời

[sogenlun]

KÌ THI OLYMPIC BẮC HƯNG HẢI NĂM 2012

ĐỀ THI : MÔN TOÁN 11

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu I : (2,5đ)
1) Giải phương trình sau :
$$\sqrt{x}+\sqrt[4]{x(1-x)^2}+\sqrt[4]{(1-x)^3} = \sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x^2(1-x)}+\sqrt[4]{x^3}$$
2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} x^3-y^3=28 \\ x^2+3y^2=x-9y \end{cases} $$
Câu II : ( 2,0đ)
Giải các phương trinh sau :
1) $\sin 4(x+\dfrac{\pi}{2})+cos(4x+5\pi)=1+4\sqrt{2}\sin (x-\dfrac{9\pi}{4}) $
2) $3\tan 2x - 4\tan 3x=\tan^2 3x.\tan 2x $
Câu III : (1,5đ)
1) Tính tổng :
$$S = C_{2012}^0+2C_{2012}^1+3C_{2012}^3+...+2012C_{2012}^{2011}+2013C_{2012}^{2012}$$
2) Có bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có $n$ chữ số được tạo thành từ các chữ số $1,2,3$ và mỗi chữ số này đền xuất hiện trong từng số ít nhất $1$ lần ? ( với $n \in \mathbb{N} , n \ge 3$)
Câu IV :(1,5đ)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy $ cho tam giác $ABC$ có 2 đỉnh $A,B$ lần lượt nằm trên trục $Ox, Oy$ , điểm $M(2;1)$ là trung điểm $AB$ , trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $2x-3y+8=0$ ,, tam giác $ABC$ có diện tích bằng $3$ và hoành độ đỉnh $C$ nhỏ hơn $-5$.
1) Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$
2) Phân giác trong $AD$ của tam giác $ABC$ chia tam giác thành hai phần . Tính tỉ số diện tích và tỉ số chu vi của hai phần đó.
Câu V : (1,5đ)
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, các mặt bên là hình vuông . $M,H$ là trung điểm của $CC',A'B'$
1) Tìm thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$ qua $M$ song song với $AH$ và $CB'$.
2) Tính diện tích của thiết diện vừa dựng được theo $a$.
Câu VI : (1,0đ)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$ E = \dfrac{a^4}{a^3+b^3+16}+ \dfrac{b^4}{b^3+c^3+16}+ \dfrac{c^4}{c^3+a^3+16}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sogenlun: 22-12-2012 - 19:31

[tramyvodoi]

Mình xin giải bài hệ như sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=28 & \\ x^{2}+3y^{2}=x-9y & \end{matrix}\right.$
Từ phương trình đầu $\Rightarrow x^{3}-1=y^{3}-27$ $(1)$
Từ phương trình sau : $-3x^{2}+3x=9y^{2}+27y$ $(2)$
Cộng $(1)$ theo $(2)$ theo vế ta được $(x-1)^{3}=(y+3)^{3}$
$\Rightarrow x = y + 4$
Thay $x = y + 4$ vào phương trình sau ta tìm được $y$, từ đây tìm được $x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 22-12-2012 - 20:03

[WhjteShadow]

Câu VI : (1,0đ)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$$ E = \dfrac{a^4}{a^3+b^3+16}+ \dfrac{b^4}{b^3+c^3+16}+ \dfrac{c^4}{c^3+a^3+16}$$

Để ý $a^3+b^3+c^3+24=^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)^3$, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\dfrac{a^4}{a^3+b^3+16}+ \dfrac{b^4}{b^3+c^3+16}+ \dfrac{c^4}{c^3+a^3+16}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3+24)}$$
$$=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)^3}$$
Do $27(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left[(a+b)+(b+c)+(c+a)\right]^3=8(a+b+c)^3$ nên $a+b+c\geq 3$. Ta có:
$$E\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)^3}\geq \frac{(a+b+c)^4}{18(a+b+c)^3}$$
$$=\frac{1}{18}(a+b+c)\geq \frac{1}{6}$$
Vậy $E_{Min}=\frac{1}{6}$. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-12-2012 - 19:59

[maitienluat]

Mình xin giải bài pt:
ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$
Đặt $a= \sqrt[4]{x}$, $b=\sqrt[4]{1-x}$ $\Rightarrow a^{4}+b^{4}=1$
Pt $\Leftrightarrow a^{2}+ab^{2}+b^{3}=b^{2}+a^{2}b+a^{3} \Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a+b-1)=0$
Suy ra a=b hoặc a+b=1 (do a,b k đồng thời = 0). Từ đây giải ra ta được nghiệm x của pt ban đầu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 22-12-2012 - 22:39

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Câu V : (1,5đ)
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, các mặt bên là hình vuông . $M,H$ là trung điểm của $CC',A'B'$
1) Tìm thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$ qua $M$ song song với $AH$ và $CB'$.
2) Tính diện tích của thiết diện vừa dựng được theo $a$.

tạm thời mới làm được 1 ý của bài này @@



từ M, kẻ đường thẳng song song với $ CB'$ cắt $B'C'$ tại $N$ và cắt $BB'$ tại $ K$

vì $ K,A,H $ đồng phẳng nên từ $ K $,trong mặt phẳng $ ABB'A'$ ,kẻ đường thẳng song song với $AH $ và cắt $A'B'; AB; AA' $ lần lượt tại $ E,F,I $

vì $ I,M,A,C \in (ACC'A') $ nên IM cắt AB tại G

vậy thiết diện cần tìm chính là ngũ giác $MNEFG $ như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 23-12-2012 - 22:46

[Gioi han]

KÌ THI OLYMPIC BẮC HƯNG HẢI NĂM 2012

ĐỀ THI : MÔN TOÁN 11

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu III : (1,5đ)
1) Tính tổng :
$$S = C_{2012}^0+2C_{2012}^1+3C_{2012}^3+...+2012C_{2012}^{2011}+2013C_{2012}^{2012}$$
2) Có bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có $n$ chữ số được tạo thành từ các chữ số $1,2,3$ và mỗi chữ số này đền xuất hiện trong từng số ít nhất $1$ lần ? ( với $n \in \mathbb{N} , n \ge 3$)

Ta có mỗi số hạng có dạng:
$(k+1)C^{k}_{n}=kC^{k}_{n} + C^{k}_{n}=nC^{k-1}_{n-1} + C^{k}_{n}$
Tổng $S= 1.C^{1}_{2012} +2 .C^{2}_{2012}+…+ 2011C^{2011}_{2012} + 2012C^{2012}_{2012} + C^{0}_{2012}+ C^{1}_{2012}+…+C^{2011}_{2012}+ C^{2012}{2012}$
$=2012 \sum _{k=0}^{2011}C^{k}_{2011} + \sum _{l=0}^{2012} C^{l}_{2012}$
$=2012.2^{2011}+2^{2012}=2014.2^{2011}$
2,Gọi số lần xuất hiện số 1 là $x_{1}$
số lần xuất hiện số 2 là $x_{2}$
số lần xuất hiện số 3 là $x_{3}$
Ta có :$x_{1}+x_{2}+x_{3}=n$
$\Leftrightarrow x_{1}-1 +x_{2}-1 +x_{3}-1 =n-3(1)$
Theo kết quả bài toán chia kẹo của Euler ta có số nghiệm nguyên của pt (1) là:
$C^{2}_{n-1}$hay có $C^{2}_{n-1}$ số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.

[hoangtrong2305]

Câu II : ( 2,0đ)
Giải các phương trinh sau :
1) $\sin 4(x+\dfrac{\pi}{2})+cos(4x+5\pi)=1+4\sqrt{2}\sin (x-\dfrac{9\pi}{4}) $

$\sin 4(x+\dfrac{\pi}{2})+\cos(4x+5\pi)=1+4\sqrt{2}\sin (x-\dfrac{9\pi}{4}) $

$\Leftrightarrow \sin (4x+2\pi)+\cos(4x+5\pi)=1+4\sqrt{2}\sin (x-\dfrac{9\pi}{4})$

$\Leftrightarrow \sin 4x-\cos 4x=1+4\sin x-4\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x-2\cos^{2}2x=4(\sin x-\cos x)$

$\Leftrightarrow \cos 2x(\sin 2x-\cos 2x)=2(\sin x-\cos x)$

$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)(\sin 2x-\cos 2x)+2(\cos x-\sin x)=0$

$\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)[(\cos x+\sin x)(\sin 2x-\cos 2x)+2]=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos x=\sin x\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ (\cos x+\sin x)(\sin 2x-\cos 2x)+2=0 \end{bmatrix}$

Xét phương trình $(\cos x+\sin x)(\sin 2x-\cos 2x)+2=0$

$\Leftrightarrow -2\cos(x-\frac{\pi}{4})\cos(2x+\frac{\pi}{4})+2=0$

$\Leftrightarrow -\cos 3x-\cos(x+\frac{\pi}{2})+2=0$

$\Leftrightarrow \sin x-\cos 3x=-2$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=-1\\ -\cos 3x=-1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\\ x=\frac{k2\pi}{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x \in \phi$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}{4}+k\pi;k \in \mathbb{Z}$

[tinhyeutuoitre]

tạm thời mới làm được 1 ý của bài này @@



từ M, kẻ đường thẳng song song với $ CB'$ cắt $B'C'$ tại $N$ và cắt $BB'$ tại $ K$

vì $ K,A,H $ đồng phẳng nên từ $ K $,trong mặt phẳng $ ABB'A'$ ,kẻ đường thẳng song song với $AH $ và cắt $A'B'; AB; AA' $ lần lượt tại $ E,F,I $

vì $ I,M,A,C \in (ACC'A') $ nên IM cắt AB tại G

vậy thiết diện cần tìm chính là ngũ giác $MNEFG $ như trên.

đề bài cho M là trung điểm của CC' , và H là trung điểm của A'B' cơ mà, bạn vẽ nhầm rồi. mong bạn vẽ lại hình và chứng minh lại cho mọi người cùng xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tinhyeutuoitre: 26-12-2012 - 20:17

[NGOCTIEN_A1_DQH]

đề bài cho M là trung điểm của CC' , và H là trung điểm của A'B' cơ mà, bạn vẽ nhầm rồi. mong bạn vẽ lại hình và chứng minh lại cho mọi người cùng xem

xin lỗi mọi người mình ghi nhầm đỉnh, hình trên đổi chỗ đỉnh $ C $ cho $ B $ và $ C'$ cho $B' $

[minhtuyb]

Gọi số lần xuất hiện số 1 là $x_{1}$
số lần xuất hiện số 2 là $x_{2}$
số lần xuất hiện số 3 là $x_{3}$
Ta có :$x_{1}+x_{2}+x_{3}=n$
$\Leftrightarrow x_{1}-1 +x_{2}-1 +x_{3}-1 =n-3(1)$
Theo kết quả bài toán chia kẹo của Euler ta có số nghiệm nguyên của pt (1) là:
$C^{2}_{n-1}$hay có $C^{2}_{n-1}$ số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.

Bài toán chia kẹo không áp dụng được trong trường hợp này bởi vì hai số có các chữ số khác nhau nhưng có thứ tự khác nhau vẫn đc coi là 2 nghiệm khác nhau của bài toán.
---
- Tổng số các số có $n$ chữ số tạo bởi ba chữ số $1,2,3: 3^n$ số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 1 (chỉ bao gồm số 2 và 3): $2^n$ số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 2 (chỉ bao gồm số 1 và 3): $2^n$ số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 3 (chỉ bao gồm số 1 và 2): $2^n$ số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 1 và 2: 1 số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 2 và 3: 1 số
- Số các số có $n$ chữ số mà không bao gồm chữ số 3 và 1: 1 số
Theo nguyên lí bao gồm và loại trừ thì nghiệm của bài toán là:
$$d=3^n-3(2^n-1)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 29-12-2012 - 17:47