Cho các số $a,b,c>0$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh
$\dfrac{1}{a(a+b)}+\dfrac{1}{b(b+c)}+\dfrac{1}{c(c+a)} \ge \dfrac{9}{2}$
$\sum \dfrac{1}{a(a+b)} \ge \dfrac{9}{2}$
Bắt đầu bởi Oral1020, 22-12-2012 - 20:58
#1
Đã gửi 22-12-2012 - 20:58
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
- banhgaongonngon yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#2
Đã gửi 23-12-2012 - 09:51
Poseidont
-
- Thành viên
-
- 322 Bài viết
Dark Knight
Other Solution
Theo $ Cauchy- Schwarz$
$[(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b].VT\geq (\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^2\geq ^{AM-GM}9$
(vì $(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b=2(ab+bc+ca)=2$)
$\Rightarrow VT\geq \frac{9}{2}$ $\square$ .
Other
$2=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\geq 3\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}$
Áp dụng $AM-GM$
$VT\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{9}{2}$
Theo $ Cauchy- Schwarz$
$[(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b].VT\geq (\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^2\geq ^{AM-GM}9$
(vì $(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b=2(ab+bc+ca)=2$)
$\Rightarrow VT\geq \frac{9}{2}$ $\square$ .
Other
$2=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\geq 3\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}$
Áp dụng $AM-GM$
$VT\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{9}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 23-12-2012 - 09:56
- DavidVince yêu thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
