Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Giải trí sáng chủ nhật ^^~
Bài toán 1.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{a+c}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall a,b,c\geq 0$ ta luôn có:
$$1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$

[Poseidont]

Bài 2
BĐT$\Leftrightarrow 2-\frac{2\sum ab}{\sum a^2}\geq1- \frac{8abc}{\prod_{a,b,c} (a+b)}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum (a-b)^2}{\sum a^2}\geq \frac{\sum c(a-b)^2}{\prod(a+b)}$
Đúng theo định lí 4 ( $a\geq b\geq c, S_b,S_c\geq 0, a^2.S_b+b^2.S_a\geq 0$)

[duongvanhehe]

Giải trí sáng chủ nhật ^^~
Bài toán 1.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{a+c}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$$
Bài toán 2.
Chứng minh $\forall a,b,c\geq 0$ ta luôn có:
$$1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$$

Bài toán 1
Nhân cả 2 vế của BĐT cần chứng minh với $(a+b)(b+c)(c+a)$ , tương đương với:
$\sum \frac{a^2(a+b)(a+c)}{b+c}+10abc\geq 2(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^2(a+b)(a+c)}{b+c}-2a^3 \right )+2(a^3+b^3+c^3+5abc)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2(a-b)(a-c)}{b+c}+2(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
(Luôn đúng theo Schur)
Bài toán 2.
Ta có: $8(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 9(a+b)(b+c)(c+a)$
nên $\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{9abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$
$\Rightarrow 1+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 1+\frac{9abc}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$
$=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left ( a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c} \right )\geq \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$
(đúng theo Schur)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvanhehe: 23-12-2012 - 22:31

[Oral1020]

Bài 1: thi gần giống http://diendantoanho...-1/#entry379921
Cái này thì AM-GM
Bài đó em sai r mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 24-12-2012 - 09:30