3 replies to this topic

[tinhyeutuoitre]

Bài 1. Tìm n để n-1$\vdots$$n^{2}-n-1$
Bai 2. Cho $n \in \mathbb{N}^*$ . Tìm $x \in \mathbb{N}^*$ nhỏ nhất sao cho
$$x^{2013}+1\vdots 2^{n}$$
Bài 3. Cho $n \in \mathbb{N}^*$ và $3^{N}-1\vdots 2^{2009}$.
CMR: $n \geq 2^{2007}$

Chú ý. Cần gõ công thức toán cẩn thận hơn. Bạn không nhất thiết phải gõ

n-1$\vdots$$n^{2}-n-1$

Mà chỉ cần đặt hai dấu đôla ở hai bên toàn bộ công thức toán là được

$n-1 \vdots n^2-n-1$

thì sẽ hiện ra $n-1 \vdots n^2-n-1$.

Thứ hai là bạn phải tập cách viết hoa đầu dòng.

Edited by Phạm Quang Toàn, 23-12-2012 - 17:16.

[Zaraki]

1. Ta có $n-1 \ \vdots n^2-n-1 \Rightarrow n(n-1) \ \vdots n^2-n-1 \Rightarrow n^2-n-1+1 \ \vdots n^2-n-1$
$\Rightarrow 1 \ \vdots n^2-n-1 \Rightarrow n^2-n-1 \in \{1;-1 \}$.
+ Với $n^2-n-1=-1 \Rightarrow n(n-1)=0 \Rightarrow n \in \{ 0;1 \}$.
+ Với $n^2-n-1=1 \Rightarrow n(n-1)=2 \Rightarrow n \in \{2;-1 \}$.

[Joker9999]

Bài 3. Cho $n \in \mathbb{N}^*$ và $3^{N}-1\vdots 2^{2009}$.
CMR: $n \geq 2^{2007}$

Giải như sau:
Đặt $n=2^x.y$ với $y$ lẻ,
Ta có:$3^{2^x.l}-1=(3^{2^x})^y-1=(3^{2^x}-1)(3^{2^x(y-1)}+3^{2^x(y-2)}+...+3^{2^x}+1)$
Thừa số thứ 2 là tổng của $y-1$ số lẻ và 1 do $3^m$ lẻ $\forall m\epsilon Z$ nên thừa số này lẻ
Do vậy $3^{2^x}-1\vdots 2^{2009}$
$3^{2^x}-1=(3^{2^{x-1}}+1)(3^{2^{x-2}}+1)....(3^2+1)(3^2-1)$. Tất cả các thừa số trừ thừa số cuối cùng đều chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4,( Thật vậy $3^k+1$ với k chẵn thì $3^k+1\equiv (-1)^k+1=2$( mod 4)) thừa số cuối $3^2-1=8=2^3$ nên tích này khi phân tích dạng tiêu chuẩn thì số luỹ thừa của 2 là $(x-1)+3=(x+2)$
Do đó nếu $3^{2^{x}}-1\vdots 2^{z}$ thì $z\leq x+2$
Mat khác: $3^{2^{x}}+1\vdots 2^{2009}$ $\Rightarrow x+2\geq 2009\Rightarrow x\geq 2007$
mà $n=2^{x}y\geq 2^{^{x}}\geq 2^{2007}$ ( đpcm)
Tổng quát:
Với $3^n-1\vdots 2^x$ thì $n\geq x-2$

[nguyenta98]

Bai 2. Cho $n \in \mathbb{N}^*$ . Tìm $x \in \mathbb{N}^*$ nhỏ nhất sao cho
$$x^{2013}+1\vdots 2^{n}$$

Giải như sau:
Dễ thấy $x$ lẻ (do $n \in N^*$) do đó $x+1=2^m.k$ với $k$ lẻ
Khi ấy xét $x^{2013}+1=(x+1)(x^{2012}-x^{2011}+...+x^2-x+1)$
Thấy $x^{2012}-x^{2011}+...+x^2-x+1$ lẻ hiển nhiên do đó $(x+1) \vdots 2^n$ nên $m\geq n$
Để tìm $x$ nhỏ nhất ta chọn $m=n$ và $k=1$ nên $x=2^n-1$
Vậy $\boxed{x=2^n-1}$