Chủ đề này có 3 trả lời

[tim1nuathatlac]

Đua xe tối chủ nhật

Bài toán 1: Cho 3 số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh bất đẳng thức sau

$\frac{z-xy}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y-zx}{z^{2}+zx+x^{2}}+\frac{x-yz}{y^{2}+yz+z^{2}}\geq 2$

Bài toán 2: Cho $a,b,c\in R^{+}$, thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b+c}\geq 2$

Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu $a,b,c\geq 0$ thì $\frac{ab+4bc+ca}{a^{2}+bc}+\frac{bc+4ca+ab}{b^{2}+ca}+\frac{ca+4ab+bc}{c^{2}+ab}\geq 6$

[tim1nuathatlac]

Đổi biến $\rightarrow \left ( p,q,r \right )$

Bài toán 1: Cho 3 số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh bất đẳng thức sau

$\frac{z-xy}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y-zx}{z^{2}+zx+x^{2}}+\frac{x-yz}{y^{2}+yz+z^{2}}\geq 2$

Gợi ý

Chú ý

$x^{2} +xy+y^{2}=1-z-q$, $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}=q^{2}-2r$, $x^{2}\left ( y+z \right )+y^{2}\left ( z+x \right )+z^{2}\left ( x+y \right )=q-3r$

BĐT cần chứng minh tương đương vs mỗi bđt sau:

$\left ( 1-q \right )^{3}-\left ( 1-q \right )\left ( q+3r \right )-q^{2}+5r^{2}\geq 2\left [ \left ( 1-q \right )q^{2}-r \right ]$

$q^{3}+q^{2}-4q+3qr+4r+1\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 27-12-2012 - 22:40

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán 2: Cho $a,b,c\in R^{+}$, thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$

Bất đẳng thức trên tương đương với $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}.$$ Chú ý rằng $$\frac{a+b+c}{a+b}=1+\frac{c}{a+b},$$ nên bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+2\ge 2(a+b+c).$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{2}.$$ Vậy ta cần chứng minh $$\frac{(a+b+c)^2}{2}+2\ge 2(a+b+c).$$ Hiển nhiên đúng theo bát đẳng thức AM-GM.

[duongvanhehe]

Bài 1:
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{zx+zy+z^2-xy}{x^2+xy+y^2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{zx+yz}{x^2+xy+y^2}+\sum \frac{z^2-xy}{x^2+xy+y^2}\geq 2$
Ta có:
$\frac{xy+xz}{y^2+yz+z^2}+\frac{yz+xy}{z^2+zx+x^2}+\frac{zx+zy}{x^2+xy+y^2}\geq 2$
Giả sử $x\geq y\geq z$ , theo BĐT Chebyshev ta có:
$\frac{x^2-yz}{y^2+yz+z^2}+\frac{y^2-zx}{z^2+zx+x^2}+\frac{z^2-xy}{x^2+xy+y^2}$
$\geq \frac{1}{3}(x^2-yz+y^2-zx+z^2-xy)\left ( \frac{1}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{y^2+yz+z^2}+\frac{1}{zz^2+zx+x^2} \right )$
$\geq 0$
Suy ra đpcm
Bài 3:
Ta có BĐT sau:
$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}$
$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab} \right )\geq 3$
nên ta chỉ cần chứng minh được:
$\frac{bc}{a^2+bc}+\frac{ca}{b^2+ca}+\frac{ab}{c^2+ab}\geq 1$
Nhưng BĐT này đúng theo Cauchy-Schwarz:
$\frac{bc}{a^2+bc}+\frac{ca}{b^2+ca}+\frac{ab}{c^2+ab}=\sum \frac{b^2c^2}{a^2bc+b^2c^2}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2bc+b^2ca+c^2ab+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 1$