CMR: $\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 23-12-2012 - 21:06
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 23-12-2012 - 21:06
Ta nhận thấy rằng vế phải của bất đẳng thức là một phần tư diện tích của hình tròn bán kính $n$, vẽ lần các điểm $1,\,2,\,3,\,...,\,n- 1,\,n$ trên cả đường kính lẫn bán kính, khi đó:
Lấy $A\,(0,\,\sqrt{n^2- 1}),\,B,\,(1,\,\sqrt{n^2- 1}),\,C\,(0,\,0),\,D\,(1,\,0)$ và diện tích hình chữ nhật $S_{\text{ABDC}}= \text{AC}.\,\text{CD}= \sqrt{n^2- 1}$.
Tiếp tục làm như vậy cho đến hình chữ nhật có $4$ đỉnh là $E\,(n- 2,\,\sqrt{n^2- (n- 1)^2}),\,F\,(n- 1,\,\sqrt{n^2- (n- 1)^2}),\,G\,(n- 1,\,0),\,H\,(n- 2,\,0)$
Hiển nhiên tổng diện tích các hình chữ nhật này chính là vế trái của bất đẳng thức ban đầu, từ đó ta có điều phải chứng minh!
Phương pháp hình học như trên là ý tưởng cơ bản của tích phân, cho $n\rightarrow \infty$ thì $VT = VP$, và cũng là ý tưởng cho ta sử dụng tổng Riemann của $f(x) = \sqrt{1-x^2}$. Cụ thể hơn, ta biến đổi tổng ở VT:
$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{n^2-i^2}=n\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1-\left(\frac{i}{n}\right)^2}=n^2\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n} \right )$
Và ta có
$\begin{align*} \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)&=\int_{0}^1 f(x) dx\\& = \int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx \\ &= \frac{\pi}{4}\\ \end{align*}$
Do tổng đã cho tăng theo $n$ nên suy ra $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{n^2-i^2} < \frac{\pi n^2}{4}$ với mọi $n\geq 2$.
Một bài toán tương tự là bài 3 chung kết HSG Toán châu Âu lớp 11, 12 như sau: Cho $n\geq 2$, chứng minh:
$\sqrt{1-\frac{1^2}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2^2}{n^2}}+...\ +\sqrt{1-\frac{(n-1)^2}{n^2}}>\frac{3n-4}{4}$
Bài này dùng phương pháp hình học như DOTOANNANG: Thêm vào tổng ở VT số hạng $1 =\sqrt{1-\frac{0}{n^2}}$.
Để ý tổng diện tích $n$ hình chữ nhật có chiều rộng $\frac{1}{n}$ và chiều dài $\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}$ lớn hơn một phần tư hình tròn bán kính $1$ nên $\frac{1}{n}(1+VT)> \frac{\pi}{4}>\frac{3}{4}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh