Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)
Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$
P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !
Edited by Juliel, 18-06-2013 - 20:47.
Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)
Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$
P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !
Edited by Juliel, 18-06-2013 - 20:47.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Tiếp tục topic nào ! (Mới phát hiện 1 bài khá hay)
Bài 114 : Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1$
P.S : Jinbe giải giùm mình bài mở rộng 2 đi !
Ta có $x(x+3)+y(y+1)=z^{2}-2xy-1\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy=z^2$
$*$ Ta thấy $z^2< (x+y+2)^2$ $(1)$
Thật vậy $x^2+y^2+1+3x+y+2xy< (x+y+2)^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+1+3x+y+2xy< x^2+y^2+4+4x+4y+2xy$
$\Leftrightarrow 0< 3+x+3y(Right)$
$*$ Mặt khác $z^2> (x+y)^2$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $(x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} (x+y+1)^2=z^2\\ \\ (x+y+1)^2=x(x+3)+y(y+1)+2xy+1 \end{matrix}\right.$
Giải hệ trên là xong.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Các bạn post bài lên đi chứ ! Mình đang ôn về chuyên đề Số học nên đang cần bài tập
Bài 115 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
$a_{1}^{5}+(a_{1}+a_{2})^{5}+(a_{1}+a_{2}+a_{3})^{5}+...+(a_{1}+a_{2}+...+a_{2014})^{5}=2014a_{1}+2013a_{2}+...+2a_{2013}+a_{2014}+2012^{2013}$
P.S : Bài này nghĩ ra giải ngon rồi nhưng chẳng biết có trật chỗ nào không ?
Edited by DarkBlood, 26-06-2013 - 11:41.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 112: Tìm $x,\ y,\ z\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix} 2x^3-7x^2+8x-2=y\\ 2y^3-7y^2+8y-2=z\\ 2z^3-7z^2+8z-2=x \end{matrix}\right.$$
Đặt $f(n)=2n^{3}-7n^{2}+8n-2$
- Xét $x,y,z$ đôi một khác nhau
Áp dụng tính chất $f(m)-f(p)\vdots (m-p)$
Ta có $f(x)-f(y)\vdots (x-y)\Rightarrow (y-z)\vdots (x-y)\Rightarrow y-z\geq x-y$
Hoàn toàn tương tự ta có :
$x-y\geq z-x;z-x\geq y-z$
Suy ra $y-z\geq y-z$
Đẳng thức phải xảy ra, khi đó : $x=y=z$ (mâu thuẫn)
- Xét $x = y = z$
Thay vào phương trình ta tìm được $(x;y;z)=(1;1;1);(2;2;2)$
P.S : Nếu hệ số $8$ của ẩn bậc nhất được thay bằng một hệ số lớn hơn $24,5$ thì ta có thể giải được hệ này trên tập số thực chứ không cần là tập số nguyên nữa !
Edited by Juliel, 19-06-2013 - 15:53.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài này coi na ná giống bài trên THTT số tháng này.
@Dark: Mình thử mở rộng bài đó
@Toàn: Tạm thời Dark đừng cho giải được không, vì nếu giải được bài đó là sẽ giải được bài trên THTT mất.
@Dark: OK, thế mình tạm ẩn bài này đi v
Edited by DarkBlood, 19-06-2013 - 14:14.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Bài 118. Cho $a,b$ là các số thực thỏa $a^3+b^3=16$. Hỏi ta tìm được bao nhiêu tổng $a+b\in \mathbb{Z}$.
$0<16=a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a+b)[(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{4}]\Rightarrow a+b>0$
Khi đó ta chứng minh được :
$(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})=64\Rightarrow 0<a+b\leq 4\Rightarrow a+b\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
Vậy : Số giá trị nguyên của tổng $a+b$ nhận được là 4.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :
$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ? )
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :
$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ? )
Ta có: $x\geq 1$ nên $\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}>1$ suy ra $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}>1$
Mặt khác dễ thấy $\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}$ nguyên nên
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{3}}}\geq 2$ hay $y\geq 4$
Ta có: $2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
$\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}=(y-2)^2$
$\Leftrightarrow 4x+2+2\sqrt{4x+1}=4(y-2)^2$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+1}+1)^2=4(y-2)^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+1=2(y-2)$
$(\sqrt{4x+1}+1\neq 2(2-y)$ vì $y\geq 4\Rightarrow y-2<0 \Rightarrow \sqrt{4x+1}+1<0,$ vô lý$)$
$\Leftrightarrow 4x+1=[(2y-4)-1]$
$\Leftrightarrow 4x=(2y-4)(2y-6)$
$\Leftrightarrow x=(y-2)(y-3)$
Vì $y\geq 4$ nên $x>0$ $($Thỏa mãn$)$
Vậy $\boxed{(x\ ;\ y)=((y-2)(y-3)\ ;\ y)}$
Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :
$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ? )
Lời giải. Ta có $\sqrt{x+ \frac 12 + \sqrt{x+ \frac 14}}= \sqrt{ \left( \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12 \right)^2}= \sqrt{x+ \frac 14}+ \frac 12$.
Do đó $\sqrt{x+ \frac 14}= y- \frac 52 \Leftrightarrow x+ \frac 14= y^2- 5y+ \frac{25}{4}$
$\Leftrightarrow x=y^2-5y+6= (y-2)(y-3)$.
Vậy $\boxed{ (x,y)=( (k-2)(k-3);k)}$ với mọi $k \in \mathbb{N}^*$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :
$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$
(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ? )
Thay $2$ bởi $x$ thì ta được bài toán này (chắc tổng quát nhất rồi), lời giải ở topic đó luôn.
Thích ngủ.
Đóng góp thêm bài.
Bài 117. Tìm số nguyên tố $(p,q)$ thoả mãn $36(3p-2q)^3=5(p+q)^2$.
ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$
vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$
đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm
thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$
vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó
+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17
nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .
vậy p=13;q=17
B.F.H.Stone
Bài này sai
ta thấy vế trái chia hết cho 36 mà (5;360=1 suy ra $(p+q)^{2}\vdots 6$
vế phải chia hết cho 5 suy ra vế trái chia hết cho 5 suy ra $\left ( 3p-2q \right )^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 3p-2q\vdots 5\Rightarrow VT\vdots 125\Rightarrow (p+q)^{2}\vdots 25\Rightarrow p+q\vdots 5$
đặt $3p-2q=n$;$p+q=m$ với m,n là các số nguyên không âm
thì ta có $36.(5n)^{3}=5.(30m)^{2}\Leftrightarrow n^{3}= m^{2}$
vậy m có dạng $k^{3}$ khi đó
+) nếu k bằng 1 thì p=13; q=17
nếu $k\neq 1\Rightarrow p+q=(30k)^{3}\Rightarrow (3p-2q)^{3}=125k^{6}\rightarrow (3p-2q)= 125k^{2}\rightarrow p=k^{2}+12k^{3}$ chia hết cho $k^{2}$ loại vì p là số nguyên tố .
vậy p=13;q=17
Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi
VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp
Best Friend
Bài này sai
Nhìn cái đề đã là phương trình vô nghiệm rồi
VT là 1 sô chính phương còn VP $5(p+q)^{2}$ ko là scp
Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
Bài 120 (hàng mới nhập )
Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Tại sao vế trái là số chính phương vậy bạn? Tui thấy kết luận VT chính phương là hơi sớm đấy!
Vì $\left ( p+q \right )^{2}$ là 1 số chính phương $\Rightarrow 5\left ( p+q \right )^{2}$ ko thể đc.
Theo tính chất số chính phương mà bạn luôn có dạng $a^{2}k^{2}$
Best Friend
Bài 120 (hàng mới nhập )
Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$
Vì x,y,z là các số tự nhiên.
Xét $xyz=0$ PT VN
Xét $xyz\neq 0$
Ta có :
$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$
Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1$ VN
@Dark: Mình góp ý chút nha
Tới chỗ suy ra $y=1$ suy ra $x^2z^6=2$
Xét 2 trường hợp: $x=1$ và $x>1$
TH1: $x=1$ suy ra $z^6=2$ (Vô lý)
TH2: $x>1\Leftrightarrow x\geq 2\Leftrightarrow x^2\geq 4$ mà $z^6\geq 1$ nên $x^2z^6\geq 6>2$ (Vô nghiệm)
@Best: Thanks bạn, mik đã sửa rồi
Edited by Best Friend, 28-06-2013 - 14:09.
Best Friend
Bài 120 (hàng mới nhập )
Giải phương trình trên tập nghiệm tự nhiên :
$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$
$y\vdots 2$ $\Rightarrow$ VP không chia hết cho 2 còn VT chia hết cho $2$ (vô lý)
$\Rightarrow$ y không chia hết cho 2. Đặt $y=2k+1$ thì $VP=(4k^2+4k+1)+4k+2-1=4k^2+8k+2$ chia 4 dư 2, Do $VP$ lẻ nên $VT$ lẻ mà $VT$ là số chính phương nên không thể chia 4 dư 2. Vậy phương trình vô nghiệm
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
Vì x,y,z là các số tự nhiên.
Xét $xyz=0$
$x^{2}y^{4}z^{6}=y^{2}+2y-1$
Vì $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y\Rightarrow y^{2}+2y-1\vdots y\Rightarrow 1\vdots y\Rightarrow y=1\Rightarrow x=z=1$
Xét $xyz\neq 0$
Ta có :
Sai rồi bạn ơi lỡ $y=0$ thì sao ?không xảy ra $x^{2}y^{4}z^{6}\vdots y$
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
0 members, 1 guests, 0 anonymous users