Bài 154 : Tìm các số nguyên dương $x$, $y$ thỏa mãn :
$x^{y}=y^{x-y}$
(Junior Balkan 1998)
Từ phương trình đã cho, ta có : $x=y^{\frac{x-y}{y}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow y|(x-y)\Rightarrow y|x$
Đặt $x = ty$ (với $t\in \mathbb{Z}_{+}$)
Thay vào phương trình ta được :
$$ty=y^{t-1}\Leftrightarrow y^{t-2}=t$$
$\bullet$ Nếu $y = 1$ ta được $x = 1$. Thử lại thỏa mãn
$\bullet$ Nếu $y\geq 2$ :
- Xét $t = 1$ thì $x = y$, $x^{y}=y^{x-y}=x^{x-y}\Rightarrow y=x-y\Rightarrow x=2y$
Lại có $x = y$ nên $x = y = 0$ (loại)
- Xét $t = 2$ thì $x = 2y$
$$x^{y}=y^{x-y}=y^{2y-y}=y^{y}\Rightarrow x=y$$, mà $x = 2y$ nên $x = y = 0$ (loại)
- Xét $t = 3$ thì $x = 2y$
$$x^{y}=y^{x-y}=y^{3y-y}=y^{2y}\Rightarrow x=y^{2}$$
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x=y^{2} & & \\ x=2y & & \end{matrix}\right.$
Được $x = 4 ; y = 2$. Thử lại không thỏa mãn
- Xét $t = 4$ thì $x = 4y$
$$x^{y}=y^{x-y}=y^{4y-y}=y^{3y}\Rightarrow x=y^{3}$$
Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x=4y & & \\ x=y^{3} & & \end{matrix}\right.$
Được $x = 8 ;y=2$. Thử lại thỏa mãn
- Xét $t\geq 5$ :
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : $2^{t-2}>t$ $(1)$
Thật vậy, với $t = 5$ thì hiển nhiên đúng, giả sử $(1)$ đúng, xét với $t + 1$ :
$$2^{t-1}=2^{t-2}.2>2t>t+1$$
Như vậy ta có $(1)$, mà $y\geq 2\Rightarrow y^{t-2}>t$
Trường hợp này loại
Kết luận : $\boxed{(x;y)=(1;1);(8;2)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 17-08-2013 - 16:14