Chủ đề này có 565 trả lời

[Lao Hac]

Giải phương trình nghiệm nguyên :

a) $x^{2} + y^{2} - xy = x^{2}y^{2}$

b) $x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2} = 3xy$

c) $x^{2} + 2xy + 3y^{2} = x + y$

[Lpphat03qb]

Giải phương trình nghiệm nguyên :

a) $x^{2} + y^{2} - xy = x^{2}y^{2}$

b) $x^{2} + y^{2} + x^{2}y^{2} = 3xy$

c) $x^{2} + 2xy + 3y^{2} = x + y$

      

a) PT \Leftrightarrow  (x-y)^{2}+xy=x^{2}y^{2}

      \Leftrightarrow  4(x-y)^{2}= 4(xy)^{2}-4xy

      \Leftrightarrow  4(x-y)^{2}+1= 4(xy)^{2}-4xy+1

      \Leftrightarrow  (2xy-1)^{2}-(2x-2y)^{2}=1

      \Leftrightarrow   (2xy-1-2x+2y)(2xy-1+2x-2y)=1

 

Từ đây kẻ bảng giải tiếp

 

[honglien]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$8x^{2}-7x+13=y(x-1)^{2}$

[Tea Coffee]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$8x^{2}-7x+13=y(x-1)^{2}$

Từ PT => $8x^{2}-7x+13\vdots x-1=>8x(x-1)+(x-1)+14\vdots x-1=>14\vdots x-1...$

Xét $x-1 \epsilon \left \{ -1;1;2;-2;7;-7;14;-14 \right \}$

Thích thì Like nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 11-11-2017 - 23:55

[Tea Coffee]

$Ta nhận thấy VP:1975^{^{4^{30}}}+2013\equiv 3 (mod 5) mà VP :19^{x}+5^{y}+1890\equiv (19^{x}) mod (5) Mặt khác 19^{x}=(20-1)^{x}\equiv (-1)^{x} mod(5) khi x<0=> x=2k+1 thì VP=>VT\equiv 4 mod(5) khi x\geq 0=>x=2k(k thuộc N) thi VP=>VT\equiv 1 mod(5) \Rightarrow PT vô nghiệm$

Bài làm của bạn chưa chính xác, mình đã sửa ở trên.

Ngoài ra có thể xét số dư cho 3.

[buihai2003vn]

Góp cho topic bài này:

$7x^2y^2+x^2+y^2=9xy$

[buihai2003vn]

Đề thi HSG Cầu Giấy vòng 2:

Giải PT nghiệm nguyên:

$8x^2+23y^2+16x-44y+16xy-1180=0$

[phungvip]

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THANH HÓA:

 

Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn : 

                                             x³ - y³ = 95(x² +y²)

[phungvip]

Đề thi HSG Cầu Giấy vòng 2:

Giải PT nghiệm nguyên:

$8x^2+23y^2+16x-44y+16xy-1180=0$

PT ⇔23y2+(16x−44)y+8x2+16x−1180=0⇔23y2+(16x−44)y+8x2+16x−1180=0 
Để pt có nghiệm nguyên thì Δ=(16x−44)2−4(8x2+16x−1180).23=−96(5x2+30x−1151)≥0Δ=(16x−44)2−4(8x2+16x−1180).23=−96(5x2+30x−1151)≥0 
Hay 5x2+30x−1151≤05x2+30x−1151≤0 =>>  x∈[−18;12]x∈[−18;12] cộng với ΔΔ là số chính phương 
=>>> x=−17,−5,−1,11x=−17,−5,−1,11 

[YoLo]

Góp cho topic bài này:

$7x^2y^2+x^2+y^2=9xy$

có x²+y²>=2xy

=> 7xy>=7x²y² => xy(1-xy) =< 0

=> 0=<xy =< 1 => xy=0 or xy=1

tự tìm x,y nhé

[phungvip]

Tìm các số nguyên x sao cho :

            2x^3-8x^2+3x   chia hết cho x^2+1 

[phungvip]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$8x^{2}-7x+13=y(x-1)^{2}$

  8x²−7x+13=y(x−1)²

<=>(8x²−8x)+(x−1)+14−(x−1)(xy−y)=0

<=>(x−1)(8x+1−xy+y)=−14

Đến đây xét từng trường hợp ước của -14 là ra. Bạn tự làm tiếp nhé

[phungvip]

tìm các nghiệm nguyên của phương trình :

                       17x - 39y = 4

[YoLo]

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THANH HÓA:

 

Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn : 

                                             x³ - y³ = 95(x² +y²)

 

chc là chia hết cho, còn  koch là ko chia hết nhé

có (x-y)(x²+xy+y²)=95(x²+y²)

mà x²+xy+y²>x²+y² >0 => 0<x-y<95

có x²+xy+y² =< 3/2(x²+y²) => x-y> 2/3 * 95 => x-y>=64

giả sử x-y koch 5 => x²+xy+y² chc 5  (2)

nếu x chc 5 => y chc 5 => x-y chc 5

nếu x koch 5 => y koch 5 => xy koch 5 => x²+y² koch 5 (1)

vì x,y koch 5 => x²,y² chia cho 5 có số dư là 1 hoặc 4 kết hợp (1) => x²-y² chc 5 mà x-y koch 5 => x+y chc 5

=> x²+2xy+y² chc 5  kết hợp (2) => xy chc 5 vô lý

=> x- y chc 5 => x-y =65 ; 70 ; 75 ; 80 ; 85 ; 90

P/s: cách này m nghĩ chưa tối ưu ai có cách hay hơn thì đăng nhé

[luuhoangbach]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

 

$4x^{2}+5y^{2}+6z^{2}=2008$

[toantuoithotth]

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2y+3x-2y-5=0$

(Được đăng bởi yellow)

Lời giải. (Phạm Quang Toàn)Ta có $y= \frac{x^3+3x-5}{x^2+2}= x+ \frac{x-5}{x^2+2}$.
Để $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $x^2+2 \mid x-5$, suy ra $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$, nên $x^2+2 \mid 27$ hay $x^2+2 \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27 \}$.
Lại có $x^2+2 \ge 2 \; \forall x \in \mathbb{Z}$ nên chỉ có thể $x^2+2 \in \{ 3,9,27 \}$.
Ta tìm được $x= \pm 1, \pm 5$. Thử lại thì thấy chỉ có $x=-1,x=5$ thỏa mãn. Đến đây dễ tìm $y$.
Phương trình có nghiệm $$\boxed{(x;y) \in \{ (-1;-3),(5;5_ \}}$$

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên
a, $3x^5+x^3+6x^2-18x=2001$
b, $x^5-5x^3+4x=24(5y+1)$

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)

Lời giải. (lời giải của MIM) a, Ta có: $3x^5+6x^2-18x$ chia hết cho $3$, $2001$ cũng chia hết cho $3$ nên $x^3$ chia hết cho $3 \Rightarrow$ $x^3$ chia hết cho $9 \Rightarrow$ vế trái chia hết cho $9$, mà vế phải không chia hết cho $9$, phương trình trên không có nghiệm nguyên
b, Ta có $x^5 - 5x^3 + 4x =x(x+1)(x-1)(x-2)(x+2)$ chia hết cho $5$ ( vì $x,x+1,x-1,x-2,x+2$ là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5) .Mặc khác, vế phải không chia hết cho $5$. vậy PT vô nghiệm.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x(x^2+x+1)=4y(y+1) \qquad (1)$$

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)

Lời giải. (lời giải của Secrets In Inequalities VP) Ta có $$ (1) \Leftrightarrow (x^{2}+1)(x+1)= (2y+1)^{2}$$
Vì $2y+1$ là số lẻ nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số lẻ.
Đặt $(x^2+1,x+1)=d$, thì $d$ lẻ.
Lại có $x+1 \ \vdots d \Rightarrow x^2-1 \ \vdots d$ mà $x^2+1 \ \vdots d$ nên $2 \ \vdots d$. Do đó $d=1$.
Vậy $(x^2+1,x-1)=1$, nên $x^2+1$ và $x+1$ là hai số chính phương.
Ta thấy $x^2$ là số chính phương và $x^2+1$ cũng là số chính phương nên chỉ có thể $x=0$. Khi đó $y=0$ Ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là $$\boxed{(x;y)=(0;0)}.$$

Chú ý. Bài này ta phải chú ý đến kết quả:
Nếu cho hai số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $ab=x^2$ với $x \in \mathbb{N}^*$ thì $a,b$ là hai số chính phương.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $

$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$$

(Đăng bởi MIM)

Lời giải. (của xuanmai1998)
$y^2z^2+(y^3-2xy)z+x(x-y)+y^2z^2(y-1)=0$

$\Leftrightarrow (yz-x+\frac{y}{2})^2=y^2z(1-y)(1+z)+\frac{y^2}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$

$\Rightarrow \frac{y^2}{4}\geq y^2z(y-1)(1+z)$

Nếu $y\geq 2$ thì $z(z+1)(y-1)\geq 2$ (do $z\geq 1$)

$\Rightarrow y^2z(z+1)(y-1)\geq \frac{y^2}{4}$, mâu thuẫn. Do đó $y=1$
Thay $y=1$ vào $\frac{y^2}{4}=y^2z(y-1)(1+z)+(yz-x+\frac{y}{2})^2$ ta có $(z-x+\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x=z \\
x=z+1 \\
\end{array} \right.$

Vậy, các nghiệm của pt đã cho là $(k,1,k);(k+1,1+k)$ với $k$ nguyên dương tùy ý.

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $$2x^6+y^2-3x^3y=320$$

(Đăng bởi Nguyen Viet Khanh 6c)

Lời giải. Cách 1. (của tramyvodoi) Viết phương trình đã cho dưới dạng : $\left ( x^{3} \right )^{2} + \left ( x^{3} - y \right )^{2} = 320$.
Đặt $u = x^{3}$ $,$ $v = x^{3} - y$. Ta có : $u^{2} + v^{2} = 320$. Do $320$ là số chẵn nên $u$ và $v$ có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử $u$ $,$ $v$ cùng lẻ, thế thì $u^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ và $v^{2} \equiv 1 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \equiv 2 \left ( \mod {4} \right )$ $\Rightarrow$ $u^{2} + v^{2} \neq 320$, vô lý. Vậy $u$ và $v$ cùng chẵn.
Đặt $u = 2u_{1}$ $,$ $v = 2v_{1}$, thay vào ta được $u_{1}^{2} + v_{1}^{2} = 80$. Lập luận tương tự, ta lại có $u_{1}$ và $v_{1}$ cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt $u_{1} = 2u_{2}$ $,$ $v_{1} = 2v_{2}$, và lại suy ra $u_{2}$ và $v_{2}$ cung chẵn $\left ( u_{2}^{2} + v_{2}^{2} = 20 \right )$.
Đặt $u_{2} = 2u_{3}$ $,$ $v_{2} = 2v_{3}$, ta lại được $u_{3}^{2} + v_{3}^{2} = 5$. Do $u$ là lập phương của một số nguyên và $u = 2^{3}u_{3}$, nên suy ra $u_{3}$ cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp $u_{3}$ $,$ $v_{3}$ thỏa mãn phương trình trên là : $\left ( 1, 2 \right ) ; \left ( -1, 2 \right ) ; \left ( 1, -2 \right ) ; \left ( -1, -2 \right )$.
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm $\left ( x, y \right )$ của phương trình đã cho là : $\left ( 2, -8 \right ) ; \left ( 2, 24 \right ) ; \left ( -2, -24 \right ) ; \left ( -2, 8 \right )$.

Cách 2. (của duaconcuachua98) Ta có pt đã cho tương đương với $$(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$$
Vì $x,y$ nguyên nên $320$ là tổng của $2$ số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là $320=16^{2}+8^{2}$ hoặc $320=16^2+(-8)^2$.
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên $x^{3}=8$ hoặc $x^3=-8$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-2$
+)Với $x=2$ ta có: $64+(8-y)^{2}=320$, suy ra $y=24$ hoặc $y=-8$
+)Với $x=-2$ ta có: $64+(-8-y)^{2}=320$, suy ra $y=8$ hoặc $y=-24$.

(Sẽ cập nhật tiếp ...)

 

Đã gửi 25-12-2012 - 05:58

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: x3−x2y+3x−2y−5=0x3−x2y+3x−2y−5=0

(Được đăng bởi yellow)

Lời giải. (Phạm Quang Toàn)Ta có y=x3+3x−5x2+2=x+x−5x2+2y=x3+3x−5x2+2=x+x−5x2+2.
Để x,y∈Zx,y∈Z thì x2+2∣x−5x2+2∣x−5, suy ra x2+2∣(x−5)(x+5)x2+2∣(x−5)(x+5), nên x2+2∣27x2+2∣27 hay x2+2∈{±1;±3;±9;±27}x2+2∈{±1;±3;±9;±27}.
Lại có x2+2≥2∀x∈Zx2+2≥2∀x∈Z nên chỉ có thể x2+2∈{3,9,27}x2+2∈{3,9,27}.
Ta tìm được x=±1,±5x=±1,±5. Thử lại thì thấy chỉ có x=−1,x=5x=−1,x=5 thỏa mãn. Đến đây dễ tìm yy.
Phương trình có nghiệm(x;y)∈{(−1;−3),(5;5}(x;y)∈{(−1;−3),(5;5}

Bài 4. Giải phương trình nghiệm nguyên
a, 3x5+x3+6x2−18x=20013x5+x3+6x2−18x=2001
b, x5−5x3+4x=24(5y+1)x5−5x3+4x=24(5y+1)

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)

Lời giải. (lời giải của MIM) a, Ta có: 3x5+6x2−18x3x5+6x2−18x chia hết cho 33, 20012001 cũng chia hết cho 33 nên x3x3 chia hết cho 3⇒3⇒ x3x3 chia hết cho 9⇒9⇒ vế trái chia hết cho 99, mà vế phải không chia hết cho 99, phương trình trên không có nghiệm nguyên
b, Ta có x5−5x3+4x=x(x+1)(x−1)(x−2)(x+2)x5−5x3+4x=x(x+1)(x−1)(x−2)(x+2) chia hết cho 55 ( vì x,x+1,x−1,x−2,x+2x,x+1,x−1,x−2,x+2 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5) .Mặc khác, vế phải không chia hết cho 55. vậy PT vô nghiệm.

Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trìnhx(x2+x+1)=4y(y+1)(1)x(x2+x+1)=4y(y+1)(1)

(Đăng bởi MyLoVeForYouNMT)

Lời giải. (lời giải của Secrets In Inequalities VP) Ta có(1)⇔(x2+1)(x+1)=(2y+1)2(1)⇔(x2+1)(x+1)=(2y+1)2
Vì 2y+12y+1 là số lẻ nên x2+1x2+1 và x+1x+1 là hai số lẻ.
Đặt (x2+1,x+1)=d(x2+1,x+1)=d, thì dd lẻ.
Lại có x+1 ⋮d⇒x2−1 ⋮dx+1 ⋮d⇒x2−1 ⋮d mà x2+1 ⋮dx2+1 ⋮d nên 2 ⋮d2 ⋮d. Do đó d=1d=1.
Vậy (x2+1,x−1)=1(x2+1,x−1)=1, nên x2+1x2+1 và x+1x+1 là hai số chính phương.
Ta thấy x2x2 là số chính phương và x2+1x2+1 cũng là số chính phương nên chỉ có thể x=0x=0. Khi đó y=0y=0 Ta tìm được nghiệm nguyên duy nhất của phương trình là(x;y)=(0;0).(x;y)=(0;0).

Chú ý. Bài này ta phải chú ý đến kết quả:
Nếu cho hai số nguyên dương a,ba,b nguyên tố cùng nhau thỏa mãn ab=x2ab=x2 với x∈N∗x∈N∗ thì a,ba,b là hai số chính phương.

Bài 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $

y2z2+(y3−2xy)z+x(x−y)+y2z2(y−1)=0y2z2+(y3−2xy)z+x(x−y)+y2z2(y−1)=0$

(Đăng bởi MIM)

Lời giải. (của xuanmai1998)
y2z2+(y3−2xy)z+x(x−y)+y2z2(y−1)=0y2z2+(y3−2xy)z+x(x−y)+y2z2(y−1)=0

⇔(yz−x+y2)2=y2z(1−y)(1+z)+y24⇔(yz−x+y2)2=y2z(1−y)(1+z)+y24

⇔y24=y2z(y−1)(1+z)+(yz−x+y2)2⇔y24=y2z(y−1)(1+z)+(yz−x+y2)2

⇒y24≥y2z(y−1)(1+z)⇒y24≥y2z(y−1)(1+z)

Nếu y≥2y≥2 thì z(z+1)(y−1)≥2z(z+1)(y−1)≥2 (do z≥1z≥1)

⇒y2z(z+1)(y−1)≥y24⇒y2z(z+1)(y−1)≥y24, mâu thuẫn. Do đó y=1y=1
Thay y=1y=1 vào y24=y2z(y−1)(1+z)+(yz−x+y2)2y24=y2z(y−1)(1+z)+(yz−x+y2)2 ta có (z−x+12)2=14⇔[x=zx=z+1(z−x+12)2=14⇔[x=zx=z+1

Vậy, các nghiệm của pt đã cho là (k,1,k);(k+1,1+k)(k,1,k);(k+1,1+k) với kk nguyên dương tùy ý.

Bài 7. Giải phương trình nghiệm nguyên sau:2x6+y2−3x3y=3202x6+y2−3x3y=320

(Đăng bởi Nguyen Viet Khanh 6c)

Lời giải. Cách 1. (của tramyvodoi) Viết phương trình đã cho dưới dạng : (x3)2+(x3−y)2=320(x3)2+(x3−y)2=320.
Đặt u=x3u=x3 ,, v=x3−yv=x3−y. Ta có : u2+v2=320u2+v2=320. Do 320320 là số chẵn nên uu và vv có cùng tính chẵn lẻ. Giả sử uu ,, vv cùng lẻ, thế thì u2≡1(mod4)u2≡1(mod4) và v2≡1(mod4)v2≡1(mod4) ⇒⇒ u2+v2≡2(mod4)u2+v2≡2(mod4) ⇒⇒ u2+v2≠320u2+v2≠320, vô lý. Vậy uu và vv cùng chẵn.
Đặt u=2u1u=2u1 ,, v=2v1v=2v1, thay vào ta được u21+v21=80u12+v12=80. Lập luận tương tự, ta lại có u1u1 và v1v1 cùng chẵn. Tiếp tục, lại đặt u1=2u2u1=2u2 ,, v1=2v2v1=2v2, và lại suy ra u2u2 và v2v2 cung chẵn (u22+v22=20)(u22+v22=20).
Đặt u2=2u3u2=2u3 ,, v2=2v3v2=2v3, ta lại được u23+v23=5u32+v32=5. Do uu là lập phương của một số nguyên và u=23u3u=23u3, nên suy ra u3u3 cũng là lập phương của một số nguyên. Từ đó các cặp u3u3 ,, v3v3 thỏa mãn phương trình trên là : (1,2);(−1,2);(1,−2);(−1,−2)(1,2);(−1,2);(1,−2);(−1,−2).
Vậy dễ dàng tìm được các nghiệm (x,y)(x,y) của phương trình đã cho là : (2,−8);(2,24);(−2,−24);(−2,8)(2,−8);(2,24);(−2,−24);(−2,8).

Cách 2. (của duaconcuachua98) Ta có pt đã cho tương đương với(x3)2+(x3−y)2=320(x3)2+(x3−y)2=320
Vì x,yx,y nguyên nên 320320 là tổng của 22 số chính phương
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là 320=162+82320=162+82 hoặc 320=162+(−8)2320=162+(−8)2.
Mà x3x3 là lập phương của 1 số nguyên nên x3=8x3=8 hoặc x3=−8x3=−8, suy ra x=2x=2 hoặc x=−2x=−2
+)Với x=2x=2 ta có: 64+(8−y)2=32064+(8−y)2=320, suy ra y=24y=24 hoặc y=−8y=−8
+)Với x=−2x=−2 ta có: 64+(−8−y)2=32064+(−8−y)2=320, suy ra y=8y=8 hoặc y=−24y=−24.

[ntbt273]

Mình đã sữa lại đề 

Giải pt nghiệm nguyên: 6x²=y(y+1)(2y+1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntbt273: 24-07-2018 - 12:44

[Hr MiSu]

Giải pt nghiệm nguyên: 6y²=y(y+1)(2y+1)

nhóm y ra ngoài, bên trong là ptb2 giải đc, nhầm đề chăng

[niemvuitoan]

Cho thêm bài tập : tìm x,y tự nhiên để 2018x +2019y = 4037

[BurakkuYokuro11]

Cho thêm bài tập : tìm x,y tự nhiên để 2018x +2019y = 4037

Vì x,y là STN nên $0\leq y\leq \frac{4037}{2019}< 2$

Từ đó y=0, y=1. Thay vào Pt ban đầu ...