Chủ đề này có 42 trả lời

[hoadaica]

to emvaanh: bạn thông cảm, chưa hiểu mới hỏi thôi.
Híc, tiếng Việt khó thiệt. Mình hiểu "quá đếm được" có nghĩa là "hơn đếm được" ==> "không đếm được". Tôi cũng đâu có định viết là dim C[a,b]=+\infty đâu chứ, viết là dim C[a,b] >+\infty mới đúng.
Hiểu thế nào cho đúng câu: không phải không gian vector nào cũng có số chiều?? Cho ví dụ xem nào??

[emvaanh]

-->to tthao, tôi ghi ngờ về khả năng của bạn rồi đó, có lẽ bạn không đượcn hanh nhạy và thích cãi bướng , tuy nhiên tôi không giận và vẫn khẳng định lại là cáhc đó là cực kì đúng đắn và hay!!!
Ý tường chính là nếu một tập sắp cấp toàn phần mà hữu hạn thì nó có phần từ lớn nhất (hay nhỏ nhất). bạn không cần phải nói gì thêm bồ những lời nói của bạn đã trở nên vô nghĩa với ôti và tôi biết bạn chỉ đang đùa với tôi thôi chứ không phải bạn không hiểu, đúng không bạn ???

-->to hoadaica, câu không phải không gian vector nào cũng có SỐ chiều đâu, chẳng hạn C[0,1] , nól à không gian vector có cơ sở không đếm đưộc nên ta không bàn về số chiều của nó ở đây

-->to camum, bạn không nên nói như vậy, vì trong toán học phải rõ ràng rành mạch, cái nào là tiên đề thì là tiên đề, cái nào là định lí thì là định lí. Nếu nắm không vững thì có thể mắc sai lầm như chơi !
À bạn nói CM mọi không gian vector đều có cơ sở đều không có ý nghĩa vì không chỉ ra được cụ thể. Bạn à trong toán học, có nhiều bài toán rất lớn (mà khi đi vào nghiên cứu chắc hẳn sẽ gặp phải) chỉ đơn thuần là CM sự tồn tại của một đối tượng gì đó mà thật sự đối tượng đó thế nào thì không ai biết được cả ! Chẳng hạn viếc CM tồn tại nghiệm thường, nghiệm dương của phương trình Elliptic đang là một lĩnh vực nghiên cứu trong thời gian gần đây đó, và có một số giải thuyết rất lớn về vấn đề này đó, vài dòng để bạn rõ...

[hoadaica]

to emvaanh: noi the khong dung dau. Neu cau hoc sau hon mot ti trong giai tich ham thi se thay rat nhieu nhung ket qua bi thay doi khi chuyen tu dim=+\infty len dim>+\infty. Con viec dim>+\infty khong co nghia la no khong co so chieu. Các năm đầu ĐH thì chỉ học thế thôi, cứ từ từ rồi sẽ thấy.

[Mr Stoke]

Mình nghĩ ở đây chỉ là hiểu lầm thôi: số chiều mà anhvaem nói liên quan đến lực lượng của cơ sở, theo đl Schawder các cơ sở (tuyến tính) có cùng lực lượng, và lực lượng đó được gọi là ''số chiều'' của không gian vector.
Trong khi đó hoadaica quan niệm cũng hổng sai, thực tế theo những gì mình để ý trong giải tích hàm các vấn đề nghiên cứu thì thường số chiều chỉ thể hiện quan trọng ở chỗ hữu hạn và vô hạn. Do đó một không gian vector E trên K tùy ý người ta thường đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\infty nếu nó có một tập con độc lập tuyến tính vô hạn. Trong hoàn cảnh thứ hai ta nói E là không gian vô hạn chiều.

Thế đấy các bác

[Ronaldo]

bạn emvaanh à, mình biết là trong toán học làm được gì thì tốt cái đó rồi. Nhưng bạn nghĩ xem : đây là bài toán rất khó chứ : nếu không có cái nguyên lý tối đại thì lấy đâu lời giải cho bài này. Tớ thì nghĩ : không lao đầu vào mấy cái này .

[emvaanh]

Có lẽ bây giờ bạn camum nói thế tôi, biết đâu sau này lại khác.
À ý tường dùng tiên đề như : bổ đề Zorn, nguyên lí cực đại Haudofl (ghi sao mới đúng nhỉ?)... cho ta những kết quả cực kì mạnh gần như là tiên đề vậy. Có rất nhiều công trình về nó mà xuất phát ban đầu cũng chỉ có thế thôi...
đặc biệt nó được dùng nhiều trong khi nghiên cứu các không gian định chuẩn có thứ tự, mà một phần ứng dụng cực kì nhỏ là có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm dương tối đại của một số phương trình Elliptic...
Trình độ mình mới chỉ biết tới đó thôi chứ còn hiều cái hay lắm...

[mitdac]

Các nhà toán học không nên căng thẳng quá . Mình có bài này , mọi người giúp dùm nhé:

Cho vd về 1 hàm khả vi f:R-->R tm: a,b R , f không đơn điệu trên (a,b) .

[emvaanh]

-->to Mr Stoke
Cám ơn bạn vì qiải quyết hiểu lầm giữa tôi và đại ca Mafia Nga

-->to hoadaica
Hiển nhiên là giữa cái hữu hạn và vô hạn có nhiều sự khác biệt lắm. Mình công nhận điều đó.
Nhiều khi để đi từ cái hữu hạn đến vô hạn là cả một vấn để, nhưng nó lại là ý tưởng thường dùng trong nhiều bài toán.
Ví như Định lí Lax-Gram (lại ghi sai tên riêng nữa) trong trường hợp hữu hạn chiều thì không có gì khó, có thể xử nó bằng kiến thức đại số tuyến tính, nhưng khi nâng lên trường hợp 'vô hạn chiều' (=không hữu hạn chiều) thì là một ý tưởng tuyệt hay.

-->to mitdac
Bài của bạn đưa ra khá hay nhưng đã cũ rồi, nó đã từng rất nổi tiếng đấy. Xét mấy bài sau:
1. hàm f đơn điệu mà không đâu liên tục
2. hàm f liên tục mà không đâu khả vi
3. hàm f liên tục mà không đâu đơn điệu
4. hàm f khả vi mà không đâu đơn điệu

1. dễ hơn nhiều so với 2,3,4. Có thể CM không tồn tại hàm như thế bởi vì không khó có thể CM hàm f đơn điệu thì nó chỉ có đếm được điểm gián đoạn mà thôi.

2,3,4
Ý tưởng là chỉ ra hàm f dưới dạng chuỗi. Hàm trong 3 và 4 được đưa ra cách đây khoảng mấy mươi năm thôi, và bản thân chúng khá nổi tiếng nên bạn có thể tìm đọc trong tài liệu không nên đánh đố làm gì.
I'll return if you still need to be helped.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 10-12-2005 - 23:10

[Ronaldo]

Bạn emvaanh chắc là sinh viên năm 2 hoặc 3 rồi, sao mình đọ được .
Thế bài hàm f liên tục mà không đâu đơn điệu giải như thế nào????, và bài hàm khả vi mà không đâu đơn điệu. Mình thấy bài hàm khả vi mà không đâu đơn điệu có vẻ hơi nghi nghi

[mitdac]

-->to mitdac
Bài của bạn đưa ra khá hay nhưng đã cũ rồi, nó đã từng rất nổi tiếng đấy. Xét mấy bài sau:
1. hàm f đơn điệu mà không đâu liên tục
2. hàm f liên tục mà không đâu khả vi
3. hàm f liên tục mà không đâu đơn điệu
4. hàm f khả vi mà không đâu đơn điệu

1. dễ hơn nhiều so với 2,3,4. Chỉ cần xét f là hàm bậc thang chẳng hạn. À không khó có thể CM hàm f đơn điệu thì nó liên tục hầu khắp nơi, và hơn thế nó chỉ có đếm được điểm gián đoạn mà thôi.

2,3,4
Ý tưởng là chỉ ra hàm f dưới dạng chuỗi. Những hàm như thế được đưa ra cách đây khoảng mấy mươi năm thôi, và bản thân chúng khá nổi tiếng nên bạn có thể tìm đọc trong tài liệu không nên đánh đố làm gì.
I'll return if you still need to be helped.

Oạch , hàm bậc thang là vd cho [1] hay sao ? Nhưng ngay sau đó bạn lại phát biểu rất chuẩn ( và khá yếu ) : hàm đđ là lt h.k.n ( mạnh hơn : khả vi hkn - cm không dễ như lt ) .

[2] , [3] thì mình đã biết . Nhân tiện , [2] xuất hiện lần đầu đã hon 100 năm chứ kô phải mới vài chục năm .

[4] thì mình kô có tài liệu nào cả . Mình cũng không có thói quen đánh đố vì đó là đặc sản của HSPT , còn mình thì đã qua rồi .

[emvaanh]

--> to mitdac
À hôm trước vội, nên nhầm một xíu, xin lỗi ha.
Còn câu bạn nói : một hàm đơn điều thì khả vi hầu khắp nơi thì là một câu phán xanh rờn, cái này ông thầy mình cũng không biết là có đúng không nữa?
Nhưng nếu là đúng thì cũng không có gì là lạ cả, trong trường hợp nếu nó đúng thì mệnh đề mạnh hơn nó sau đây phải đúng : một hàm đơn điều thì chỉ không khả vi tại quá lắm không đếm được điểm
Trừ khi bạn đưa ra lập luận xác đáng bằng không tôi vẫn cho là nó sai.

Trở lại vấn đề:
1. hàm f đơn điệu mà không đâu liên tục
2. hàm f liên tục mà không đâu khả vi
3. hàm f liên tục mà không đâu đơn điệu
4. hàm f khả vi mà không đâu đơn điệu

1. Như đã nói, hàm f như thế là không tồn tại
2. Hàm f như vậy được Weierstrass(1815-1897) đưa ra lần đầu tiên, do vậy nói ví dụ cho 2 được đưa ra trên 100 năm là đúng.
f= http://dientuvietnam...metex.cgi?f_0(x)=|x| , với |x|<=1/2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_n(x)=4^{-n+1}f_1(4^{n-1}x) , với n >1
4. Một ví dụ như thế rất phức tạp, nó dẫn tới một hàm số khả vi khắp nơi và có một tập hợp trù mất cực đại tương đối và một tập hợp trù mật cực tiểu tương đối.
Bạn có thể xem ví dụ như thế ở : The theory of functions , Harren Press, Washington 1950, p.412-421

A sẵn đây cũng nói thêm là có hàm thỏa:
5. Hàm f liên tục mọi nơi mà không tại đâu có đạo hàm một phía hữu hạn cũng như vô hạn.
Hết

[mitdac]

--> to mitdac
À hôm trước vội, nên nhầm một xíu, xin lỗi ha.
Còn câu bạn nói : một hàm đơn điều thì khả vi hầu khắp nơi thì là một câu phán xanh rờn, cái này ông thầy mình cũng không biết là có đúng không nữa?
Nhưng nếu là đúng thì cũng không có gì là lạ cả, trong trường hợp nếu nó đúng thì mệnh đề mạnh hơn nó sau đây phải đúng : một hàm đơn điều thì chỉ không khả vi tại quá lắm không đếm được điểm
Trừ khi bạn đưa ra lập luận xác đáng bằng không tôi vẫn cho là nó sai.

Trở lại vấn đề:
1. hàm f đơn điệu mà không đâu liên tục
2. hàm f liên tục mà không đâu khả vi
3. hàm f liên tục mà không đâu đơn điệu
4. hàm f khả vi mà không đâu đơn điệu

1. Như đã nói, hàm f như thế là không tồn tại
2. Hàm f như vậy được Weierstrass(1815-1897) đưa ra lần đầu tiên, do vậy nói ví dụ cho 2 được đưa ra trên 100 năm là đúng.
f= http://dientuvietnam...metex.cgi?f_0(x)=|x| , với |x|<=1/2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_n(x)=4^{-n+1}f_1(4^{n-1}x) , với n >1
4. Một ví dụ như thế rất phức tạp, nó dẫn tới một hàm số khả vi khắp nơi và có một tập hợp trù mất cực đại tương đối và một tập hợp trù mật cực tiểu tương đối.
Bạn có thể xem ví dụ như thế ở : The theory of functions , Harren Press, Washington 1950, p.412-421

A sẵn đây cũng nói thêm là có hàm thỏa:
5. Hàm f liên tục mọi nơi mà không tại đâu có đạo hàm một phía hữu hạn cũng như vô hạn.
Hết

Giọng văn của emvaanh sao mà ... quen quen , không khéo lại đắc tội với ban quản lí đóng giả thường dân đi tuần thì ... hỏng .

+Cái đl về hàm đơn điệu là do Lebeg phán chứ tớ không phán à nha , còn thầy bạn thì ... không bàn đến ( rút kinh nghiệm ) . Xem chẳng hạn " Cơ sở giải tích " của Hu .

+Về hàm k.v nhưng không đđ khắp nơi , nghe bạn trả lời tớ cũng đoán được là thông tin ấy từ đâu rồi --> dĩ nhiên tớ cũng biết cuốn sách bạn nêu có câu trả lời nhưng tiếc là không có cuốn đó

PS : Vừa kiếm đc cuốn "counterexamples in topo " nhưng trong đó cũng không có vd trên , híc .

[quantum-cohomology]

Chẳng hạn viếc CM tồn tại nghiệm thường, nghiệm dương của phương trình Elliptic đang là một lĩnh vực nghiên cứu trong thời gian gần đây đó, và có một số giải thuyết rất lớn về vấn đề này đó, vài dòng để bạn rõ...

emvaanh có thể giới thiệu cụ tỉ hơn về lãnh vực này không? Chẳng hạn phương trình đơn giản nhất là Laplace phức trên các Kähler manifolds dẫn tới cấu trúc Hodge, cũng như elliptic complex, cái này khá thú vị, nó liên quan trực tiếp tới 1 loạt các lãnh vực trong hình học đại số, giải tích phức, và topo đại số. Theo mình hiểu là từ Sheaf cohomology người ta kéo sang spectral sequences, rồi dùng Grothendieck filtration để resolution như kiểu K-Theory. Các kết quả này đã được Atiyah giải quyết. Các câu hỏi giả thuyết mới, mình chưa được biết, nếu emvaanh đưa lên đây vài điều mở mang cho mọi người thì hay quá.

[hoadaica]

các hàm cho câu 2 và 5 hình như là gặp được trong quá trình nghiên cứu chuyện động Broyn. Hình như cũng do Broyn đưa ra thì phải. Cái hàm 2 là không khả vi tại mọi điểm nhỉ?
to emvaanh: bạn có thể gửi lên cái định lý Lax-Gram?

[Mr Stoke]

các hàm cho câu 2 và 5 hình như là gặp được trong quá trình nghiên cứu chuyện động Broyn.  Hình như cũng do Broyn đưa ra thì phải. Cái hàm 2 là không khả vi tại mọi điểm nhỉ?
to emvaanh: bạn có thể gửi lên cái định lý Lax-Gram?

hì không biết emvaanh đề cập đến định lý Lax-Milgram không nhỉ, định lý này có ý nghĩa quan trọng trong sự tồn tại các nghiệm yếu của phương trình loại elliptic! Thực tế định lý này là sự mở rộng của định lý biểu diễn Riesz

Cho http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?H. Giả sử rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha,\beta dương thỏa mãn và với mọi .

Khi đó có duy nhất sao cho với mọi .

Trường hợp vô hạn chiều dùng định lý Riesz, chắc đấy là ý tưởng mà emvaanh định nói!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Stoke: 12-12-2005 - 13:30

[hoadaica]

chứng minh sự tồn tại của một "hàm liên tục nhưng không khả vi một phía tại bất kì điểm nào cả" nhận được thông qua chứng minh "các chu trình của quá trình Vinher liên lục nhưng không khả vi trái hay phải tại mọi điểm". Sự tồn tại những hàm như thế là vô số vì số các chu trình như vậy có vô số, nhưng để viết ra cụ thể hàm số của các chu trình thì hơi bị khó. Chứng minh khá đẹp, nhưng dài và cần kiến thức xs. Hẹn dịp khác vậy.

[emvaanh]

-->to Mr Stoke
Cám ơn vì đã giải thích hộ mình, nhưng thiếu giả thiết H là không gian Hilbert rồi! Đúng là mình muốn nói đến định lí Lax-Milgram (mình rất hay đánh sai tên riêng của mấy nhà toán học). Nó quả thật là một công cụ hữu hiêu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các pt đạo hàm riêng và Elliptic. Còn một đl khác tương tự nhưng mạnh hơn đl này đó.
Trong đl mà Mr Stoke đã nói, trường hợp H hữu hạn chiều thì dễ thôi. Ngược lại người ta xét thêm H có tính phản xạ, lúc đó có thể xấp xỉ H bằng H' là một không gian có số chiều hũu hạn và mọi chuyện đơn giản hơn nhiều.
Tuy nhiêu đối với định lí mạnh hơn mà mình nói thì chứng minh bằng ý tưởng khác cơ.

-->quantum-cohomology (tên khó viết quá)
Có thể nói tóm tắt về lĩnh vực toán mà mình muốn đề cập tới đó là phương trình đạo hàm riêng, nhưng chú trọng dạng Elliptic. Những bài toán như thế thường xuất phát từ Vật Lí, tuy nhiên khi sang toán học thì chúng đã đi xa hơn so vói những gì mà các nhà Vật Lí mong muốn. Để biết về nó bạn có thể đọc trong quyển: bộ sách cao học -Viện Toán Học- PT vi phân đạo hàm riêng-Trần Đức Vân hoặc cao hơn là trong: Partial Differential Equations, Lawrence C.Evans (lần này mình có ghi trên giấy đem theo, nên cứ tin rằng tên ông này là chính xác, hic)
Tuy nhiên cũng có thể nêu định nghĩa vắn tắt như sau:
PT Elliptc tuyến tính: Cho A là một mở của R^n. Tìm u: A-->R thỏa
trong A và u=0 trên biên của A.
PT Elliptc nửa tuyến tính: Cho A là một mở của R^n. Tìm u: A-->R thỏa
trong A và u=0 trên biên của A.
À, có những PT dạng trên không có nghiệm dưới dạng thông thường nên người ta phải đn lại nghiệm dưới dạng khác và từ đó cók hai niệm nghiệm yếu. Nó có liên quan đến không gian Sobolev (hy vong ghi đúng), nếu bạn đã học hoàn chỉnh giải tích hàm chắc phải biết đến cái kg này.
Còn một vấn đề tìm nghiệm dương (f>=0 với mọi x) yếu nữa. Nó liên quan đến không gian vecto mà trên đó có một Cone-P đóng (có thể hiểu là kg vecto có thứ tự và P={x>=0} , vì sự tương ứng giữa Cone và thứ tự là 1-1)...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 13-12-2005 - 11:37

[quantum-cohomology]

->quantum-cohomology (tên khó viết quá)
Có thể nói tóm tắt về lĩnh vực toán mà mình muốn đề cập tới đó là phương trình đạo hàm riêng, nhưng chú trọng dạng Elliptic. Những bài toán như thế thường xuất phát từ Vật Lí, tuy nhiên khi sang toán học thì chúng đã đi xa hơn so vói những gì mà các nhà Vật Lí mong muốn. Để biết về nó bạn có thể đọc trong quyển: bộ sách cao học -Viện Toán Học- PT vi phân đạo hàm riêng-Trần Đức Vân hoặc cao hơn là trong: Partial Differential Equations, Lawrence C.Evans (lần này mình có ghi trên giấy đem theo, nên cứ tin rằng tên ông này là chính xác, hic)
Tuy nhiên cũng có thể nêu định nghĩa vắn tắt như sau:
PT Elliptc tuyến tính: Cho A là một mở của R^n. Tìm u: A-->R thỏa
trong A và u=0 trên biên của A.
PT Elliptc nửa tuyến tính: Cho A là một mở của R^n. Tìm u: A-->R thỏa
trong A và u=0 trên biên của A.
À, có những PT dạng trên không có nghiệm dưới dạng thông thường nên người ta phải đn lại nghiệm dưới dạng khác và từ đó cók hai niệm nghiệm yếu. Nó có liên quan đến không gian Sobolev (hy vong ghi đúng), nếu bạn đã học hoàn chỉnh giải tích hàm chắc phải biết đến cái kg này.
Còn một vấn đề tìm nghiệm dương (f>=0 với mọi x) yếu nữa. Nó liên quan đến không gian vecto mà trên đó có một Cone-P đóng (có thể hiểu là kg vecto có thứ tự và P={x>=0} , vì sự tương ứng giữa Cone và thứ tự là 1-1)...

Mình không hỏi những cái đó, cái mà mình hỏi là: Ở trên cậu có giới thiệu là hiện nay có nhiều giả thuyết trong lãnh vực phương trình elliptic, nên mình muốn biết là giả thuyết đó là gì? Liệu nó có liên quan gì đến Hodge conjecture không?
Từ cái http://dientuvietnam...cgi?L^2-fuction trong cái không gian Sobolev mà cậu nhắc ở trên đó, người ta kéo sang Elliptic complex, người ta cm được đối với các Kähler manifolds thì De Rham-, Sheaf- cohomology (Dolbeault) và harmonic forms là tương tự nhau, harmonic forms có nghĩa là nghiệm của pt laplace nhưng on niveau của differential forms.
Do đó có sự tương ứng 1-1 : Elliptic operator <=> Complex geometry (Hodge theory) <=> Index theory.
Nếu trong lãnh vực pt ellitpic có gì mới mẻ, mình không hiểu là liệu có kéo được sang lãnh vực khác không?

[Mr Stoke]

-->to Mr Stoke
Cám ơn vì đã giải thích hộ mình, nhưng thiếu giả thiết H là không gian Hilbert rồi! Đúng là mình muốn nói đến định lí Lax-Milgram (mình rất hay đánh sai tên riêng của mấy nhà toán học). Nó quả thật là một công cụ hữu hiêu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các pt đạo hàm riêng và Elliptic. Còn một đl khác tương tự nhưng mạnh hơn đl này đó.
Trong đl mà Mr Stoke đã nói, trường hợp H hữu hạn chiều thì dễ thôi. Ngược lại người ta xét thêm H có tính phản xạ, lúc đó có thể xấp xỉ H bằng H' là một không gian có số chiều hũu hạn và mọi chuyện đơn giản hơn nhiều.
Tuy nhiêu đối với định lí mạnh hơn mà mình nói thì chứng minh bằng ý tưởng khác cơ.

Hì mình dùng kí hiệu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?H thì đã hiểu là Hilbert rồi, về đl này mình có biết 1 chứng minh nhưng nghe có vẻ như nó khác với chứng minh mà emvaanh biết, bạn đăng thử nên xem nào.

Loại toán tử elliptic (cấp2)http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?B tuy trong trường hợp tổng quát có thể không thỏa mãn điều kiện của định lý L-M nhưng cái 'xấp xỉ' (không biết dùng từ này có đúng không nhỉ) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B_{\lambda} liên kết với toán tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lambda thích hợp sẽ thỏa mãn tất cả các giả thiết của L-M. Điều đó suy ra sự tồn tại nghiệm yếu của hệ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Stoke: 13-12-2005 - 21:46

[Hatucdao]

Từ cái http://dientuvietnam...cgi?L^2-fuction trong cái không gian Sobolev mà cậu nhắc ở trên đó, người ta kéo sang Elliptic complex, người ta cm được đối với các Kähler manifolds thì De Rham-, Sheaf- cohomology (Dolbeault) và harmonic forms là tương tự nhau, harmonic forms có nghĩa là nghiệm của pt laplace nhưng on niveau của differential forms.
Do đó có sự tương ứng 1-1 : Elliptic operator <=> Complex geometry (Hodge theory) <=> Index theory.

Bạn quantum-cohomology có thể nói kĩ hơn một chút về cái này không
Elliptic operator <=> Complex geometry (Hodge theory)

theo tôi được biết thì những bài toán Eliptic phi tuyến vẫn thuộc lãnh vực khó của Toán học, và những phương pháp thông thường vẫn dựa trên giải tích hàm là chủ yếu, không hiểu liên quan tới Complex geometry như thế nào? Có thể 1 hàm điều hòa thì liên quan tới hàm giải tích, nhưng nói thì dễ chứ chỉ ra cụ thể thì không đơn giản đâu.