7 replies to this topic

[Oral1020]

Chứng minh rằng:
$$\left | a \right |+\left | b \right | \ge \left | a+b \right | $$
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
---------
Cái tính chất này mình đang cần để làm bài tập.Nhưng không chứng minh được
Còn dấu bằng thì khi $ab \ge 0$

[banhgaongonngon]

Chứng minh rằng:
$$\left | a \right |+\left | b \right | \ge \left | a+b \right | $$
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
---------
Cái tính chất này mình đang cần để làm bài tập.Nhưng không chứng minh được
Còn dấu bằng thì khi $ab \ge 0$

Sử dụng hằng đẳng thức $|x|^{2}=x^{2},\forall x\in \mathbb{R}$ và $|x|.|y|=|xy|$ ta có

$|a|+|b|\geqslant |a+b|$

$\left ( |a|+|b| \right )^{2}\geqslant |a+b|^{2}$

$\Leftrightarrow |a|^{2}+|b|^{2}+2|a|.|b|\geqslant (a+b)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2|ab|=a^{2}+b^{2}+2ab$

$\Leftrightarrow |ab|\geqslant ab$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow |ab|=ab\Leftrightarrow ab\geqslant 0$

Edited by banhgaongonngon, 28-12-2012 - 12:04.

[Oral1020]

Sử dụng hằng đẳng thức $|x|^{2}=x^{2},\forall x\in \mathbb{R}$ và $|x|.|y|=|xy|$ ta có

$|a|+|b|\geqslant |a+b|$

$\left ( |a|+|b| \right )^{2}\geqslant |a+b|^{2}$

$\Leftrightarrow |a|^{2}+|b|^{2}+2|a|.|b|\geqslant (a+b)^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+2|ab|=a^{2}+b^{2}+2ab$

$\Leftrightarrow |ab|\geqslant ab$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow |ab|=ab\Leftrightarrow ab\geqslant 0$

Em cũng mới tìm ra cách giải nhưng dài:
Xét $a >0,b>0$ và $a<0 c<0$ thì đều xảy ra dấu bằng.
Không mât tính tổng quát,giả sử $a>0,b<0$
Vì $a-b > a+b$(Bên bị trừ,một bên cộng )

[tramyvodoi]

Chứng minh rằng:
$$\left | a \right |+\left | b \right | \ge \left | a+b \right | $$
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
---------
Cái tính chất này mình đang cần để làm bài tập.Nhưng không chứng minh được
Còn dấu bằng thì khi $ab \ge 0$.

Với mọi $a \in \mathbb{Q}$ ta luôn có $a \leq \left | a \right |$ (dấu $=$ xảy ra khi $a \geq 0$).
$a)$ Nếu $a + b \geq 0$ thì $\left | a + b \right | = a + b$.
Vì $a \leq \left | a \right |$$,$ $b \leq \left | b \right |$ với mọi $a$$,$ $b$ $\in$ $\mathbb{Q}$ nên :
$\left | a + b \right | = a + b \leq \left | a \right | + \left | b \right |$.
$\Leftrightarrow \left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a + b \right |$.
$b)$ Nếu $a + b < 0$ thì $\left | a + b \right | = -\left ( a + b \right ) = - a - b$.
Mà $- a \leq \left | a \right |$$,$ $- b \leq \left | b \right |$ nên :
$\left | a + b \right | = - a - b \leq \left | a \right | + \left | b \right |$.
$\Leftrightarrow \left | a + b \right | \leq \left | a \right | + \left | b \right |$.
$\Leftrightarrow \left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a + b \right |$.
Vậy với mọi $a$$,$$b$ $\in$ $\mathbb{Q}$ ta đều có $\left | a \right | + \left | b \right | \geq \left | a + b \right |$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a$$,$ $b$ cùng dấu hoặc ít nhất một số bằng $0$.

[tramyvodoi]

Tổng quát bài toán :
Cho $n$ số hữu tỉ $\alpha_{1}$ $,$ $\alpha_{2}$ $,$ $...$ $,$ $\alpha_{n}$. Chứng minh rằng :
$\left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right | \geq \left | \alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} \right |$.

[Oral1020]

Tổng quát bài toán :
Cho $n$ số hữu tỉ $\alpha_{1}$ $,$ $\alpha_{2}$ $,$ $...$ $,$ $\alpha_{n}$. Chứng minh rằng :
$\left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right | \geq \left | \alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} \right |$.

Chắc thế này nhỉ.Xét khi các số cùng dấu thì dấu $=$ xảy ra.Khi khác dấu thì dễ dàng thấy $\left | \alpha_{1} \right | + \left | \alpha_{2} \right | + ... + \left | \alpha_{n} \right | > \left | \alpha_{1} + \alpha_{2} + ... + \alpha_{n} \right |$..Vì VP thì bị hạ giá trị vì có các số ngược dấu
Lời giải ảo quá =)
---
Chị cũng ngồi lục nữa

Edited by Oral1020, 31-01-2013 - 20:21.

[snowwhite]

Mấy cái trị tuyệt đối này tuy đơn giản nhưng phải có kiến thức vững chứ không là chứng minh cũng như áp dụng dễ bị nhầm hoặc không thể c/m dc

[tramyvodoi]

Chứng minh rằng:
$$\left | a \right |+\left | b \right | \ge \left | a+b \right | $$
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
---------
Cái tính chất này mình đang cần để làm bài tập.Nhưng không chứng minh được
Còn dấu bằng thì khi $ab \ge 0$

Có thể dùng phản chứng.
Giả sử $|a| + |b| < |a + b|$.
$\Leftrightarrow \left ( |a| + |b| \right )^{2} < |a + b|^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2} + 2|ab| + b^{2} < a^{2} + 2ab + b^{2}$
$\Leftrightarrow |ab| < ab$ (vô lí)
Do vậy $\left | a \right |+\left | b \right | \ge \left | a+b \right | $.