Chủ đề này có 6 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. chứng minh
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{225}{16}$
____________________________________________________
cái này trong đề kiểm tra học kì trường HBT ở Huế.

[nthoangcute]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. chứng minh
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{225}{16}$
____________________________________________________
cái này trong đề kiểm tra học kì trường HBT ở Huế.

Tham khảo hướng làm bài tương tự:

Giả thiết: a và b thuộc tập [1,2]:
$(a+b+c)(\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{c}) \le 10$ (*)

Giải:

$(a + b + c)(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c})$

= $\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {b}{a} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a} + \frac {c}{b} \le 7$ (**)

Không giảm tính tổng quát, ta giả sử: $1 \le a \le b \le c \le 2$

=>$(a - b)(b - c) \ge 0$

<=>$ab + bc \ge b^2 + ac$ (***)

Chia 2 vế của (***) cho bc: $\frac {a}{c} + 1 \ge \frac {b}{c} + \frac {a}{b}$ (1)

Chia 2 vế của (***) cho ab: $\frac {c}{a} + 1 \ge \frac {b}{a} + \frac {b}{c}$ (2)

Lấy (1) + (2):
$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} + \frac a{c} + \frac c{a} \le 2 + 2(\frac a{c} + \frac c{a})$ (3)

Do giả thiết: $1 \le a \le c \le 2$ nên $1 \le \frac c{a} \le 2$

=> $\frac c{a} - 2 \le 0$ và $\frac c{a} - \frac 1{2} \ge 0$

=> $(\frac c{a} - \frac 1{2})(\frac c{a} - 2) \le 0$

<=>$(\frac c{a})^2 - (\frac 5{2})(\frac c{a}) +1 \le 0$

<=>$\frac c{a} + 1 \le \frac 5{2}$

<=>$\frac c{a} + \frac a{c} \le \frac 5{2}$. Thay vào (3), ta có:

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 2 + 2(\frac 5{2})$

$\frac b{c} + \frac a{b} + \frac b{a} + \frac b{c} \le 7$ => (**) đúng => (*) đúng

Dấu "=" xảy ra <=> khi $\frac c{a} = 2$ => c = 2; a = 1 (b = 1 hoặc b = 2)

Tức dấu "=" xảy ra: a = b = 1; c = 2 hoặc a = 1; b = c = 2 và các hoán vị.

Vậy thay vào các câu a và b, ta có điều phải chứng minh.

Tiện thể, mình có bài này cho bạn:

Giả thiết:

Cho a, b, c ∈ [1,2]. Chứng minh:

$(a + b + c)(\frac 1{a} + \frac 1{b} + \frac 1{c}) \le \frac {81}{8}$

[phudinhgioihan]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. chứng minh
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{225}{16}$
____________________________________________________
cái này trong đề kiểm tra học kì trường HBT ở Huế.

Xin lỗi chịu không nổi

Đặt $f(a,b,c)=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $

Xét $f(a,b,c)$ theo biến a . Do $f(a,b,c)$ đối xứng theo 3 biến nên để cho gọn, ta có thể giả sử $a \le b \le c $Ta có:

$f''(a,b,c)_a=\dfrac{2(b+c)}{a^3}>0 $

Do đó, $f(a,b,c)_a $ là hàm lồi trên $[\frac{1}{2};2] \;, \forall b,c \in [\frac{1}{2};2] $

Tương tự như vậy ta cũng có $f(a,b,c)_b$ và $f(a,b,c)_c$ cũng là hàm lồi trên $[\dfrac{1}{2};2]$

Vậy $\max \;f(a,b,c)_a=\max\{f(\frac{1}{2},b,c);f(b,b,c)\}=\max\{f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},c);f(\frac{1}{2},c,c),f(c,c,c)\}$

$=\max\{f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2});f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2);f(\frac{1}{2},2,2);f(2,2,2)\} $

$=\frac{27}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)$ là một hoán vị của bộ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$ và $\frac{1}{2},2,2)$

hiển nhiên $\frac{27}{2}<\frac{225}{16} $

Cái đề gốc tìm đâu ra dấu bằng nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 28-12-2012 - 19:45

[Sagittarius912]

Xin lỗi chịu không nổi

Đặt $f(a,b,c)=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) $

Xét $f(a,b,c)$ theo biến a . Do $f(a,b,c)$ đối xứng theo 3 biến nên để cho gọn, ta có thể giả sử $a \le b \le c $Ta có:

$f''(a,b,c)_a=\dfrac{2(b+c)}{a^3}>0 $

Do đó, $f(a,b,c)_a $ là hàm lồi trên $[\frac{1}{2};2] \;, \forall b,c \in [\frac{1}{2};2] $

Tương tự như vậy ta cũng có $f(a,b,c)_b$ và $f(a,b,c)_c$ cũng là hàm lồi trên $[\dfrac{1}{2};2]$

Vậy $f(a,b,c)_a=\max\{f(\frac{1}{2},b,c);f(b,b,c)\}=\max\{f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},c);f(\frac{1}{2},c,c),f(c,c,c)\}$

$=\max\{f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2});f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2);f(\frac{1}{2},2,2);f(2,2,2)\} $

$=\frac{27}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)$ là một hoán vị của bộ $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$ và $\frac{1}{2},2,2)$

hiển nhiên $\frac{27}{2}<\frac{225}{16} $

Cái đề gốc tìm đâu ra dấu bằng nhỉ

cách này xem ra "búa tạ" quá. liệu có cách khác không bạn??

[nthoangcute]

$f(a,b,c)$ theo biến a . Do $f(a,b,c)$ đối xứng theo 3 biến nên để cho gọn, ta có thể giả sử $a \le b \le c $Ta có:

$f''(a,b,c)_a=\dfrac{2(b+c)}{a^3}>0 $

Do đó, $f(a,b,c)_a $ là hàm lồi trên $[\frac{1}{2};2] \;, \forall b,c \in [\frac{1}{2};2] $

Tương tự như vậy ta cũng có $f(a,b,c)_b$ và $f(a,b,c)_c$ cũng là hàm lồi trên $[\dfrac{1}{2};2]$

Bạn sai một vài chỗ rồi !
1. Hàm này đều là hàm lõm mà !

Vậy $f(a,b,c)_a=\max\{f(\frac{1}{2},b,c);f(b,b,c)\}=\max\{f(\frac{1}{2},\frac{1}{2},c);f(\frac{1}{2},c,c),f(c,c,c)\}$

2. Đáng lẽ là $f(a,b,c)_{a_{max}}$
P/s: Đề bài nó lừa người thôi ! Chứ thực ra yêu cầu chỉ là tìm Max !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-12-2012 - 19:27

[phudinhgioihan]

Bạn sai một vài chỗ rồi !
1. Hàm này đều là hàm lõm mà !

Định nghĩa hàm lồi :

Cho $I$ là một khoảng chứa trong $\mathbb{R} $, hàm $f: I \to \mathbb{R} $ gọi là hàm lồi trong $I$ nếu :

$f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \;\; \forall x,y \in I , \lambda \in [0,1]$

Tức là $f''(x)>0\; \forall x \in I$

[nthoangcute]

Định nghĩa hàm lồi :

Cho $I$ là một khoảng chứa trong $\mathbb{R} $, hàm $f: I \to \mathbb{R} $ gọi là hàm lồi trong $I$ nếu :

$f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) \;\; \forall x,y \in I , \lambda \in [0,1]$

Tức là $f''(x)>0\; \forall x \in I$