Chủ đề này có 4 trả lời

[Sagittarius912]

Cho tam giác ABC thỏa:
$\sum sin^{2}A=3\sum cos^{2}A$
CMR tam giác ABC đều

[IloveMaths]

to nghi lam the nay:
Su dung bat dang thuc luong giac quen thuoc:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leqslant \frac{9}{4}$
$3(cos^2A+cos^2A+cos^2A)\geqslant \frac{9}{4}$
dau bang xay ra khi a=b=c khi do tam giac ABC deu

[Sagittarius912]

to nghi lam the nay:
Su dung bat dang thuc luong giac quen thuoc:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leqslant \frac{9}{4}$
$3(cos^2A+cos^2A+cos^2A)\geqslant \frac{9}{4}$
dau bang xay ra khi a=b=c khi do tam giac ABC deu

chứng minh đi chú, nói xoang làm đc gì đâu

[dark templar]

chứng minh đi chú, nói xoang làm đc gì đâu

Chỉ là biến đổi Lượng giác thôi
**********
Ta có thể biến đổi đẳng thức ban đầu về dạng :
$\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=\dfrac{9}{4} \iff \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-\dfrac{3}{2}$
$\iff 2\cos (A+B)\cos (A-B)+2\cos^2 C-1=\dfrac{-3}{2} $
$\iff 2\cos C\left[\cos C-\cos (A-B) \right]=\dfrac{-1}{2} $
$\iff 4\cos^2 C-4\cos C\cos (A-B)+1=0(*)$
Xem đây là PT bậc 2 theo $\cos C$,ta có $\Delta'=4\cos^2 (A-B)-4=4(\cos^2 (A-B)-1) \le 0,\forall A,B$
Do đó để PT có nghiệm thì $\Delta'=0 \iff \cos (A-B)=\pm 1 \iff A=B$,tức là $\cos (A-B)=1$.Thay vào (*),ta sẽ có:
$$4\cos^2 C-4\cos C+1=0 \iff \cos C=\dfrac{1}{2} \iff C=\dfrac{\pi}{3}$$
Từ đó ta có thể suy ra được $\Delta ABC$ đều.

[BoFaKe]

chứng minh đi chú, nói xoang làm đc gì đâu

Đây đây,có liền
$\sum \sin ^{2}A= \frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{1-\cos 2B}{2}+1-\cos ^{2}B\leq \frac{9}{4}\Leftrightarrow 0\leq \cos ^{2}C+\cos (A+B)(A-B)+\frac{1}{4}= \cos ^{2}C-\cos C(A-B)+\frac{1}{4}= \left [ \cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B) \right ]^{2}+\frac{1}{4}\sin ^{2}(A-B)$
Cái kia cũng tương tự thôi.(Không làm được mới nói vậy )
--------------------------------
P/S:Mấy cái này là bdt cơ bản bên lượng giác mà