Chủ đề này có 1 trả lời

[phatthientai]

Cho $ABC$ là tam giác cân tại $C. I$ là tâm nội tiếp, $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ và nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng qua P song song $CA, CB$ cắt $AB$ tại $D, E.$ Đường thẳng qua $P$ song song $AB$ cắt $CA, CB$ tại $F,G. FD$ cắt $GE$ tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

[ilovemath97]

Mấu chốt bài này là chứng minh cho đc các bộ điểm $A,F,P,E,K$ và $D,P,G,B,K$ là nằm trên đường tròn.
Trước hết, c/m đc $AC$ và $CB$ là các tiếp tuyến của $(J)$. Thật vậy, do
$\angle IAJ +\angle IAC= \angle AIJ+\angle IAB=90.$
vậy $AC$ là tiếp tuyến của $(J)$, tương tự với $CB$

Ta cũng c/m đc:$\Delta APD$ đồng dạng $\Delta BPG$ (g.g) là vì $\angle PAD=\angle PGB ;\angle ADP=\angle BGP$

Chúng đồng dạng, cho ta $\frac{AD}{GB}=\frac{PD}{PG}$ hay$\frac{AD}{AF}=\frac{GB}{BE}$ ( chú ý GB=AF,PD=GB,PG=BE có đc từ các hình bình hành) $(\cdot )$
Lại có $\angle FAD=\angle EBG$. Nên từ $(\cdot )$ ta có đc:
$\Delta AFD$ đồng dạng $\Delta BEG$ (c.g.c) (điều này quan trọng)

Từ đó có $\angle AFD=\angle GEB=\angle AEK$
Suy ra tứ giác $AFEK$ nội tiếp
Cũng có $\angle EGB=\angle ADF=\angle BDK$
Suy ra tứ giác $KDGB$ cũng nội tiếp

Và như vậy mấu chốt đc giaỉ quyết, từ đây mở ra nhiều hướng để kết thúc bài toán, có 1 hướng như sau:
Ta c/m $AKB= 2\angle ABC$ là xong.
Thật vậy, $\angle AKB=\angle AKF+\angle DKG+\angle GKB=\angle AEF+\angle ABC+\angle EKB$
(Là vì góc AKF=AEF, góc FKG =ABC)

Bài toán quy về chứng minh $\angle FEP=\angle GKB$
Điều này là dễ dàng vì $\angle FEP=\angle FAP=\angle APD$
Mặt khác $\angle GKB=\angle GPB$
Và vì $\angle APD=\angle BGP$(ta đã c/m ADP đồng dạng BGP ở trên)
như vậy chưng minh xong $\angle FEP=\angle GKB$.
Từ đây suy ra đc đpcm, $ACBK$ là tứ giác nội tiếp


(p/s: bài dài và hình rối, còn vẽ đường phụ nữa. Chả bik có ai rảnh ngồi đọc bài mình ko nữa)

Hình gửi kèm

• 

File gửi kèm

•  hinh ve_le duc khanh.bmp   1.64MB   126 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovemath97: 30-12-2012 - 22:23