Chủ đề này có 2 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:
$ab+bc+ca+2abc=1$
CMR
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq \frac{3}{2}$

[maitienluat]

Đặt $\sqrt{ab}= \cos C,\sqrt{bc}= \cos A,\sqrt{ac}= \cos B$ với $0< A,B,C< \frac{\pi }{2}$thì dễ dàng suy ra $A,B,C$ là 3 góc của 1 tam giác. Khi đó BĐT đã cho có dạng quen thuộc $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$.
ĐTXR khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

[tramyvodoi]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:
$ab+bc+ca+2abc=1$
CMR
$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq \frac{3}{2}$

Mình xin trình bày bài giải:
Do $ab+bc+ca+2abc=1$
Nên đặt $a=\frac{x}{y+z}$, $b=\frac{y}{x+z}$,$c=\frac{z}{x+y}$ (cách đặt trên là do mình học được khi tham dự trại hè toán học KHTN)
Với cách đặt như trên, bđt trên trở thành
$\sum \sqrt{\frac{xy}{(y+z)(x+z)}}\leq \frac{3}{2}$
Ta có $\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z})$
Thực hiện 2 bđt tương tự rồi cộng theo vế ta được điều phải chứng minh.