Chủ đề này có 3 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$
CMR
$\frac{1+b^{2}a}{c^{3}}+\frac{1+bc^{2}}{a^{3}}+\frac{1+ca^{2}}{b^{3}}\geq \frac{18}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
_________________________________________
Hong Kong 2000 ^^

[duong vi tuan]

cứ S-V rồi Cô si đến đại là ra:^^
$$(\sum a^3)(\sum \frac{1+b^2a}{c^3})\geq (\sum \sqrt{1+b^2a})\geq 18$$

[maitienluat]

Cách khác:
Ta có $\left ( \frac{1+ab^{2}}{c^{3}}+\frac{1+bc^{2}}{a^{3}}+\frac{1+ca^{2}}{b^{3}} \right )(a^{3}+b^{3}+c^{3})=3+\left ( \frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+\frac{a^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{b^{3}} \right )+\left ( \frac{a^{4}b^{2}}{c^{3}}+\frac{b^{4}a^{2}}{c^{3}}+\frac{b^{4}c^{2}}{a^{3}}+\frac{c^{4}b^{2}}{a^{3}}+\frac{a^{4}c^{2}}{b^{3}}+\frac{c^{4}a^{2}}{b^{3}} \right )+(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$
Áp dụng AM-GM và giả thiết $abc=1$ suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[SonTung1998]

$\frac{1+b^{2}a}{c^{3}}+\frac{1+c^{2}b}{a^{3}}+\frac{1+a^{2}c}{b^{3}}
=\frac{1+\frac{b^{2}ac}{c}}{c^{3}}+\frac{1+\frac{c^{2}ba}{a}}{a^{3}}+\frac{1+\frac{a^{2}cb}{b}}{b^{3}}
= \frac{1+\frac{b}{c}}{c^{3}}+\frac{1+\frac{c}{a}}{a^{3}}+\frac{1+\frac{a}{b}}{b^{3}}
\geq \frac{2\sqrt{\frac{b}{c}}}{c^{3}}+\frac{2\sqrt{\frac{c}{a}}}{a^{3}}+\frac{2\sqrt{\frac{a}{b}}}{b^{3}}$
Áp dụng hệ quả BĐT AM-GM:
$\geq \frac{(\sqrt{2\sqrt{\frac{b}{c}}}+\sqrt{2\sqrt{\frac{c}{a}}}+\sqrt{2\sqrt{\frac{a}{b}}})^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
Áp dụng BĐT $(a+b+c)^{2}\geq 3ab+3bc+3ca$:
$\geq \frac{6\sqrt{\frac{b}{a}}+6\sqrt{\frac{c}{b}}+6\sqrt{\frac{a}{c}}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$
Áp dụng BĐT AM-GM, có ĐPCM. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Cách của mình hơi dài mình mới tập gõ công thức, sai chỗ nào các ĐHV sửa giúp mình nhé Thanks nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonTung1998: 31-12-2012 - 10:31