Chủ đề này có 2 trả lời

[Primary]

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:$$\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 31-12-2012 - 20:37

[Ispectorgadget]

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:$$\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$$

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$.
Ta sẽ chứng minh
\[
\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}} \leq 1
\]
Và
\[
\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}} +
\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}} \leq 2.
\]
BĐT đầu tương đương
$\sqrt{a}+\sqrt{b} \geq \sqrt{a+b-c} + \sqrt{c}.$ hay $\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{2} \geq \left( \sqrt{a+b-c} + \sqrt{c} \right)^{2}$
\[
\iff \sqrt{ab} \geq \sqrt{c(a+b-c)}
\]
\[
\iff ab \geq c(a+b-c),
\]
Ta có $(a-c)(b-c) \geq 0$.
Từ BĐT (2)
Đặt $p=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ và $q=\sqrt{a}-\sqrt{b}$, ta có $a-b=pq$ và $p \geq 2 \sqrt c$.
BĐT trên trở thành
\[
\frac{\sqrt{c-pq}}{\sqrt{c}-q} + \frac{\sqrt{c+pq}}{\sqrt{c}+q} \leq 2.
\]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
\begin{eqnarray*}
\left( \frac{\sqrt{c-pq}}{\sqrt{c}-q} + \frac{\sqrt{c+pq}}{\sqrt{c}+q} \right)^{2}
&\leq& \left( \frac{c-pq}{\sqrt{c}-q} + \frac{c+pq}{\sqrt{c}+q} \right)
\left( \frac{1}{\sqrt{c}-q} + \frac{1}{\sqrt{c}+q} \right) \\
&=& \frac{2 \left( c\sqrt{c} - pq^{2} \right) }{c-q^{2}} \cdot \frac{2\sqrt{c}}{c-q^{2}} \\
&=& 4 \; \frac{c^{2}- \sqrt{c}pq^{2} }{ \left( c-q^{2} \right)^{2}} \\
&\leq& 4 \; \frac{c^{2}- 2cq^{2} }{ \left( c-q^{2} \right)^{2}} \\
&\leq& 4 \; \frac{c^{2}- 2cq^{2} + q^{4}}{ \left( c-q^{2} \right)^{2}} \\
&\leq& 4.
\end{eqnarray*}
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

[tim1nuathatlac]

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:$$\sum \frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$$

Mình có cách này coi được không

ta có $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\left ( \sum a^{2} \right )$

Áp dụng BĐT trên ta cần cm $\sum \frac{a+b-c}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}\leq 3$

$\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{a+b-c}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right )\left ( \sqrt{c}-\sqrt{b}\right )}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}\geq 0$

Mặt khác ta có bđt $Schur$ suy rộng như sau Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z sao cho $\left ( a,b,c \right )$ và $\left ( x,y,z \right )$ là các bộ số đơn điệu khi đó $x\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )+y\left ( b-a \right )\left ( b-c \right )+z\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )\geq 0$

Trở lại bài toán $x=\frac{1}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^{2}}$, $y=\frac{1}{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b} \right )^{2}}$, $z=\frac{1}{\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a} \right )^{2}}$

Gs $a\geq b\geq c$ $\Leftrightarrow x\leq y\leq z$ $\Rightarrow Q.e.D$