Tìm tất cả hàm $f$ thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}
f:{R^ + } \to {R^ + }\\
f\left( x \right)f\left( {{\rm{yf}}\left( x \right)} \right) = f\left( {x + y} \right)
\end{array} \right.\]
${f\left( x \right)f\left( {{\rm{yf}}\left( x \right)} \right) = f\left( {x + y} \right)}$
Bắt đầu bởi viet 1846, 01-01-2013 - 03:03
#2
Đã gửi 01-01-2013 - 08:44
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5018 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
\[
f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in \mathbb{R}^ + \quad \left( 1 \right)
\]
Trong (1), chọn $x:=x_0 \in (0;1) $ cố định, và thay $y$ bởi $x_0-y$, ta có:
\[
\begin{array}{c}
f\left( {\left( {x_0 - y} \right)f\left( {x_0 } \right)} \right) = 1,\forall y \in \left( {0;x_0 } \right) \\
\Rightarrow f\left( z \right) = 1,\forall z \in \left( {x_0 f\left( {x_0 } \right);f\left( {x_0 } \right)} \right) = D_{x_0 } ,\left( 2 \right) \\
\end{array}
\]
Chọn $x \in D_{x_0}$ thì từ (1) ta có:\[
f\left( y \right) = f\left( {y + x} \right),\forall y > 0,\left( 3 \right)
\]
Từ (2),(3), suy ra $f(x)=1\,\,\forall x>0$.
Thử lại: $VT(1)=1.1=VP(1)$: thỏa.
Kết luận: $f(x)=1\,\,\forall x>0$
\[
f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in \mathbb{R}^ + \quad \left( 1 \right)
\]
Trong (1), chọn $x:=x_0 \in (0;1) $ cố định, và thay $y$ bởi $x_0-y$, ta có:
\[
\begin{array}{c}
f\left( {\left( {x_0 - y} \right)f\left( {x_0 } \right)} \right) = 1,\forall y \in \left( {0;x_0 } \right) \\
\Rightarrow f\left( z \right) = 1,\forall z \in \left( {x_0 f\left( {x_0 } \right);f\left( {x_0 } \right)} \right) = D_{x_0 } ,\left( 2 \right) \\
\end{array}
\]
Chọn $x \in D_{x_0}$ thì từ (1) ta có:\[
f\left( y \right) = f\left( {y + x} \right),\forall y > 0,\left( 3 \right)
\]
Từ (2),(3), suy ra $f(x)=1\,\,\forall x>0$.
Thử lại: $VT(1)=1.1=VP(1)$: thỏa.
Kết luận: $f(x)=1\,\,\forall x>0$
- viet 1846 và WhjteShadow thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
