Chủ đề này có 4 trả lời

[minhtuyb]

Một bài nho nhỏ mừng năm mới :
---
Pro: Khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: Với số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ thì:
$$a+b+c\le \dfrac{3}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-01-2013 - 12:49

[Ispectorgadget]

Một bài nho nhỏ mừng năm mới :
---
Pro: Khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: Với số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ thì:
$$a+b+c\le \dfrac{3}{2}$$

Đặt $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$
Ta có $sin^2 \frac{A}{2}+sin^2 \frac{B}{2}+sin^2 \frac{C}{2}+2sin \frac{B}{2}sin\frac{A}{2}sin \frac{C}{2}=1$
Cái này trên mạng có nhiều rồi
Ta chỉ cần chứng minh $sin \frac{A}{2}+sin \frac{B}{2}+sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-01-2013 - 12:56

[minhtuyb]

Đặt $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$
Ta có $sin^2 \frac{A}{2}+sin^2 \frac{B}{2}+sin^2 \frac{C}{2}+2sin \frac{B}{2}sin\frac{A}{2}sin \frac{C}{2}=1$
Cái này trên mạng có nhiều rồi
Ta chỉ cần chứng minh $sin \frac{A}{2}+sin \frac{B}{2}+sin \frac{C}{2}\le \frac{3}{2}$

Từ $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$ thì suy ra $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Nhưng liệu từ $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ thì có phải chỉ tồn tại duy nhất cách đặt $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$ không?
Cách đặt trên mới chỉ là 1 trường hợp của bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-01-2013 - 13:26

[VNSTaipro]

Một bài nho nhỏ mừng năm mới :
---
Pro: Khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: Với số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ thì:
$$a+b+c\le \dfrac{3}{2}$$

Từ $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$ thì suy ra $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$. Nhưng liệu từ $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ thì có phải chỉ tồn tại duy nhất cách đặt $\sin \frac{A}{2} =x;\sin \frac{A}{2} =y;\sin \frac{A}{2} =z;(A;B;C \in (0;\pi))$ không?
Cách đặt trên mới chỉ là 1 trường hợp của bài toán

Dễ thấy $0<a,b,c<1$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
a=cosA\\b=cosB
\\c=cosC
\end{matrix}\right.$
Với $A,B,C \epsilon [0;\pi ]$
$\Rightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1$
$\Rightarrow \frac{1}{2}(1+cos2A)+\frac{1}{2}(1+cos2B)+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1$
$\Rightarrow cos(A+B)cos(A-B)+cos^{2}C+cos(A+B)cosC+cos(A-B)cosC=0$
$\Rightarrow (cos(A+B)+cosC)(cos(A-B)+cosC)=0$
$\Rightarrow cos(A+B)=-cosC$
=> $A,B,C$ là 3 góc của 1 tam giác
=>Dễ thấy $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$ =>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 02-01-2013 - 13:19

[WhjteShadow]

Một bài nho nhỏ mừng năm mới :
---
Pro: Khẳng định hoặc phủ định mệnh đề sau: Với số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ thì:
$$a+b+c\le \dfrac{3}{2}$$

Cách 1:
Do $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$ nên tồn tại các số $x,y,z\geq 0$ thỏa:
$$a=\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}},b=\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}},c=\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$$
Lúc đó phải toán trở về chứng minh:
$$\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}\leq \frac{3}{2}$$
.....
Cách 2:
Đặt $x=2a,y=2b,z=2c$ ta có $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Ta cần chứng minh:
$$x+y+z\leq 3$$
Hay là:
$$2(x^2+y^2+z^2+xyz)+1\geq (x+y+z)^2$$
$$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$$
Cái này cũng ....