Chủ đề này có 1 trả lời

[hieuht2012]

Giải pt nguyệm nguyên dương: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

[hamdvk]

Giải pt nguyệm nguyên dương: $(x+y)^3=(x-y-6)^2$

Dễ cm : $(x+y)^{3}=(x+y-6)^{2}=a^{6}$ $(a \epsilon Z+ )$
hay ta có $\left\{\begin{matrix} x+y=a^{2}\\ x-y-6=a^{3} \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x+y=a^{2}\\ x-y-6=-a^{3} \end{matrix}\right.$
TH1 Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=a^{2}\\ x-y-6=a^{3} \end{matrix}\right.$
thì $\left\{\begin{matrix} x=a^{2}-y\\ x=a^{3}+y+6 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow a^{2}-y=a^{3}+y+6$
$\Leftrightarrow a^{2}-a^{3}=2y+6>0$
mà $a\geq 1 \Rightarrow a^{2}\leq a^{3} ; y> 0$
( mâu thuẫn )
TH2 Nếu $\left\{\begin{matrix} x+y=a^{2}\\ x-y-6=-a^{3} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=a^{2}-y\\ x=y+6-a^{3} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a^{3}+a^{2}-6=2y$
$\Leftrightarrow \frac{a^{3}+a^{2}-6}{2}=y$
$\Rightarrow x=a^{2}-\frac{a^{3}+a^{2}-6}{2}=\frac{a^{2}-a^{3}+6}{2}$
Để ,y>o thì $a^{2}-a^{3}+6> 0$ và $a^{3}+a^{2}-6> 0$ hay a=2
Thay vào ta được $(x;y)=(1;3)$