Chủ đề này có 2 trả lời

[chocopai]

cho các số thực a,b,c thoã $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.cmr
$a^{3}\left ( b+c \right )+b^{3}\left ( c+a \right )+c^{3}\left ( a+b \right )\leq 6$

[barcavodich]

Cộng thêm $a^4+b^4+c^4$ vào 2 vế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 01-01-2013 - 17:25

[maitienluat]

Dễ thấy chỉ cần c/minh BĐT đúng khi $a,b,c$ k âm.
Không mất tổng quát giả sử c là số lớn nhất.
Đưa về đồng bậc: $3\sum ab(a^{2}+b^{2})\leq 2\sum a^{4}+4\sum a^{2}b^{2}$
$\Leftrightarrow 3\left ( \sum ab(a^{2}+b^{2})-2abc(a+b+c) \right )\leq 2\left ( \sum a^{4}-abc(a+b+c) \right )+4\left ( \sum a^{2}b^{2}-abc(a+b+c) \right )$ (*)
Ta có các đẳng thức sau:
$\sum ab(a^{2}+b^{2})-2abc(a+b+c)=(a+c)(b+c)(a-b)^{2}+(2ab+ac+bc)(c-a)(c-b)$
$\sum a^{2}b^{2}-abc(a+b+c)=c^{2}(a-b)^{2}+ab(c-a)(c-b)$
$\sum a^{4}-abc(a+b+c)=((a+b)^{2}+c^{2})(a-b)^{2}+(ab+(a+c)(b+c))(c-a)(c-b)$
Từ đó $VP(*)-VT(*)=(a-b)^{2}(ab+3c^{2}+2a^{2}+2b^{2}-3ac-3bc)+(c-a)(c-b)(2ab-ac-bc+2c^{2})\geq 0$
do 2 BĐT phụ sau
$2ab-ac-bc+2c^{2}= 2ab+c(2c-a-b)\geq 0$
$2ab+6c^{2}+4a^{2}+4b^{2}-6c(a+b)> 6c^{2}+\frac{3}{2}(a+b)^{2}-6c(a+b)\geq 0$ (đúng theo AM-GM)
C/minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ và $a=b=c=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 02-01-2013 - 22:59