Xác định hàm số f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: $f(f(x)+y) = 4x +4y +3$.
#2
Đã gửi 01-01-2013 - 21:57
tranghieu95
-
- Thành viên
-
- 147 Bài viết
Trung sĩ
Thay $y$ bởi $f(y)$ vào (1) ta có: $f(f(x)+f(y))=4x+4f(y)+3$ (2)Xác định hàm số f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: $f(f(x)+y) = 4x +4y +3$.(1)
Thay $x$ bởi $y$, $y$ bởi $x$ ta có: $f(f(y)+f(x))=4y+4f(x)+4$
$\Rightarrow x+f(y)=y+f(x)$
$\Rightarrow f(x)-x=f(y)-y, \forall x,y \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x)=x+C$ với $C$ là hằng số.
Thay vào $(1)$ ta thấy ko tồn tại C tm.
Vậy ko tồn tại $f$ tmbt
- perfectstrong, duong vi tuan, cool hunter và 3 người khác yêu thích
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC
A1K39PBC
#3
Đã gửi 13-03-2013 - 19:50
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Thay $y$ bởi $f(y)$ vào (1) ta có: $f(f(x)+f(y))=4x+4f(y)+3$ (2)
Thay $x$ bởi $y$, $y$ bởi $x$ ta có: $f(f(y)+f(x))=4y+4f(x)+4$
$\Rightarrow x+f(y)=y+f(x)$
$\Rightarrow f(x)-x=f(y)-y, \forall x,y \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x)=x+C$ với $C$ là hằng số.
Thay vào $(1)$ ta thấy ko tồn tại C tm.
Vậy ko tồn tại $f$ tmbt
Cần gì dài thế?Mà hình như Trang cho đáp án sai.
Chọn $x=0$ và đặt $f(0)=a$ khi đó $f(y+a)=4y+3$
=>$f(y)=4y+3-4a=4y+C$ với $C=3-4a$
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
