Chứng minh: $\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\geq\frac{a+b+c}{3}$ với $a,\,b,\,c$ dương.
Bắt đầu bởi Alexman113, 03-01-2013 - 15:51
#1
Đã gửi 03-01-2013 - 15:51
Cho $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\geq\dfrac{a+b+c}{3}$$
- provotinhvip và Oral1020 thích
KK09XI~ Nothing fails like succcess ~
#2
Đã gửi 03-01-2013 - 15:53
Cho $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\geq\dfrac{a+b+c}{3}$$
Không hiểu bài này xoắn kiểu gì , chỉ cần áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có: \[VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}=VP \to Q.E.D\]
___
NLT
- provotinhvip yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#3
Đã gửi 03-01-2013 - 15:53
Áp dụng bất đẳng thức $C-S$,ta có:Cho $a,\,b,\,c$ dương. Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}\geq\dfrac{a+b+c}{3}$$
$\text{VT} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}=\text{VP}$
- provotinhvip yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#4
Đã gửi 03-01-2013 - 15:55
$\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{3a+3b+3c}= \frac{a+b+c}{3}$
- provotinhvip yêu thích
#5
Đã gửi 03-01-2013 - 16:05
$ \frac{a^2}{b+2c}+\frac{b+2c}{9}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c+2a}{9}+\frac{c^2}{a+2b}+\frac{a+2b}{9}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{9}}+2\sqrt{\frac{b^2}{9}}+2\sqrt{\frac{c^2}{9}}$
Rồi chuyển vế trừ ra là xong
Rồi chuyển vế trừ ra là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanbi97: 03-01-2013 - 16:05
- N H Tu prince, triethuynhmath và provotinhvip thích
#6
Đã gửi 04-01-2013 - 10:19
bài này phải gọi là dễ chưa từng thấy và đã từng có
VT>=(a+b+c)^2/(b+2c+c+2a+a+2b)=VP(BĐT cauchy-schwart)
VT>=(a+b+c)^2/(b+2c+c+2a+a+2b)=VP(BĐT cauchy-schwart)
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh