Chủ đề này có 4 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.
CMR:
$$\frac{a^4+b^4+c^4+a+b+c}{2}\ge \frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 03-01-2013 - 22:01

[minhtuyb]

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$.
CMR:
$$\frac{a^4+b^4+c^4+a+b+c}{2}\ge \frac{a}{\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{b}}$$

-Theo $AM-GM:$
$$\dfrac{a^3}{bc}+b\ge 2\dfrac{a}{\sqrt{c}}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại có ĐPCM (Chú ý $abc=1$). Dấu bằng khi $a=b=c=1\ \square$

[Oral1020]

-Theo $AM-GM:$
$$\dfrac{a^3}{bc}+b\ge 2\dfrac{a}{\sqrt{c}}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại có ĐPCM (Chú ý $abc=1$). Dấu bằng khi $a=b=c=1\ \square$

Có trục trặc gì rồi anh ơi.Nếu áp dụng như vậy thì
$\dfrac{a^3}{bc}+b \ge 2\dfrac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{c}}$chứ nhỉ

[Oral1020]

Ta có bất đẳng thức $\text{Schur}$,với số mũ là 2:
$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b) \ge 0$
$\Longleftrightarrow a^2(a^2-ac-ab+bc)+b^2(b^2-ab-cb+ac)+c^2(c^2-bc-ac+ab) \ge 0$
$\Longleftrightarrow a^4-a^3c-a^3b+a^2bc+b^4-ab^3-cb^3+b^2ac+c^4-bc^3-ac^3+c^2ab \ge 0$
$\Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4+a+b+c \ge a^3c+a^3b+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b$
$\Longleftrightarrow \dfrac{a^4+b^4+c^4+a+b+c}{2abc} \ge \dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{a^2}{2c}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{c^2}{2b}$
Áp dụng $\text{AM-GM}$,ta có:
$\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{c^2}{2b} \ge \dfrac{3}{2}$
$\Longrightarrow \dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{a^2}{2c}+\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{c^2}{2b} \ge (\dfrac{a^2}{2c}+\dfrac{1}{2})+(\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{1}{2})+(\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{1}{2})$
Áp dụng $\text{AM-GM}$ cho từng ngoặc ta có:
$(\dfrac{a^2}{2c}+\dfrac{1}{2})+(\dfrac{b^2}{2a}+\dfrac{1}{2})+(\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{1}{2}) \ge \dfrac{a}{\sqrt{c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}+\dfrac{c}{\sqrt{b}}$
$\boxed{\Longrightarrow \dfrac{a^4+b^4+c^4+a+b+c}{2} \ge \dfrac{a}{\sqrt{c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}+\dfrac{c}{\sqrt{b}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 04-01-2013 - 10:55

[duong vi tuan]

theo bdt côsi ta có $$a+b+c\geq 3$$
ta có:$$2(a^4+b^4+c^4+a+b+c)\geq a^4+b^4+c^4+a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2 +6$$
ghép đối xứng : $$a^4+a^2b^2+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4.a^2b^2}=4\sqrt[4]{\frac{a^4}{c^2}}=4\frac{a}{\sqrt{c}}$$
từ đó ta có dpcm