Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-01-2013 - 13:26
$P(x)=x^{2010}+a_1x^{2009}+...+a_{2009}x+1$ có 2010 nghiệm thực.CM $P(2) \ge 3^{2010}$.
Bắt đầu bởi prince123456, 04-01-2013 - 07:21
p(x)= x2010+a1x2009+...+a2009
#1
Đã gửi 04-01-2013 - 07:21
prince123456
-
- Thành viên
-
- 108 Bài viết
Trung sĩ
Cho đa thức $P(x)=x^{2010}+a_1x^{2009}+...+a_{2009}x+1$.Có các hệ số không âm,có 2010 nghiệm thực. Chứng minh rằng : $P(2) \ge 3^{2010}$
#2
Đã gửi 04-01-2013 - 15:53
thanh hai nguyen
-
- Thành viên
-
- 41 Bài viết
Binh nhất
giả sử P(x) có 2010 nghiệm thực: $x_{1}, x_{2},...,x_{2010}$ . vì $a_{i}\geq 0, \forall i=\overline{0,2009}$ (xem 1= $a_{0}$ ) nên $x_{i} $\leq$ 0, \forall i=\overline{1,2010}$. ta có:
P(x) = $\prod_{1}^{2010}(x-x_{i})$.
hay P(x)= $\prod_{1}^{2010}(x+y_{i}),y_{i}=-x_{i}\geq 0,\forall i=\overline{1,2010}$.
P(2)=$\prod_{1}^{2010}(2+y_{i}),\forall i=\overline{1,2010}$
áp dụng bất đẳng thức AM-GM;
$2+y_{i}\geq 3\sqrt[3]{y_{i}}, \forall i=\overline{1,2010}$. do đó:
P(2)$\geq 3^{2010}\sqrt[3]{\prod_{1}^{2010}y_{i}}$.
mà theo định lí viette: $\prod_{1}^{2010}y_{i}=(-1)^{2010}\prod_{1}^{2010}x_{i}=1$. do đó, ta có đpcm
P(x) = $\prod_{1}^{2010}(x-x_{i})$.
hay P(x)= $\prod_{1}^{2010}(x+y_{i}),y_{i}=-x_{i}\geq 0,\forall i=\overline{1,2010}$.
P(2)=$\prod_{1}^{2010}(2+y_{i}),\forall i=\overline{1,2010}$
áp dụng bất đẳng thức AM-GM;
$2+y_{i}\geq 3\sqrt[3]{y_{i}}, \forall i=\overline{1,2010}$. do đó:
P(2)$\geq 3^{2010}\sqrt[3]{\prod_{1}^{2010}y_{i}}$.
mà theo định lí viette: $\prod_{1}^{2010}y_{i}=(-1)^{2010}\prod_{1}^{2010}x_{i}=1$. do đó, ta có đpcm
- perfectstrong và prince123456 thích
#3
Đã gửi 04-01-2013 - 22:51
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 5030 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Bạn có đảm bảo $y_i \ge 0$ mà sử dụng AM-GM cho 3 số vậy?giả sử P(x) có 2010 nghiệm thực: $x_{1}, x_{2},...,x_{2010}$ . vì $a_{i}\geq 0, \forall i=\overline{0,2009}$ (xem 1= $a_{0}$ ) nên $x_{i} $\leq$ 0, \forall i=\overline{1,2010}$. ta có:
P(x) = $\prod_{1}^{2010}(x-x_{i})$.
hay P(x)= $\prod_{1}^{2010}(x+y_{i}),y_{i}=-x_{i}\geq 0,\forall i=\overline{1,2010}$.
P(2)=$\prod_{1}^{2010}(2+y_{i}),\forall i=\overline{1,2010}$
áp dụng bất đẳng thức AM-GM;
$2+y_{i}\geq 3\sqrt[3]{y_{i}}, \forall i=\overline{1,2010}$. do đó:
P(2)$\geq 3^{2010}\sqrt[3]{\prod_{1}^{2010}y_{i}}$.
mà theo định lí viette: $\prod_{1}^{2010}y_{i}=(-1)^{2010}\prod_{1}^{2010}x_{i}=1$. do đó, ta có đpcm
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 05-01-2013 - 09:05
thanh hai nguyen
-
- Thành viên
-
- 41 Bài viết
Binh nhất
chắc chắn luôn, vì tất cả các nghiệm của P(x) đều khôn dương mà $y_{i}=-x_{i}$, với $x_{i}$ là nghiệm của P(x) nên $y_{i}$ phải dương!
#5
Đã gửi 13-01-2013 - 16:58
barcavodich
-
- Thành viên
-
- 449 Bài viết
Sĩ quan
chính xác rồi do các hệ số không âm nên chỉ có nghiệm không dươngchắc chắn luôn, vì tất cả các nghiệm của P(x) đều khôn dương mà $y_{i}=-x_{i}$, với $x_{i}$ là nghiệm của P(x) nên $y_{i}$ phải dương!
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#6
Đã gửi 16-01-2013 - 10:24
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
$\fbox{Tổng quát :}$ Cho đa thức bậc $n$ thỏa $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ với các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh $P(x)\ge 3$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#7
Đã gửi 25-01-2013 - 00:10
alex_hoang
-
- Hiệp sỹ
-
- 1152 Bài viết
Thượng úy
Bài toán này cách làm không hề khác so với bài toán trên .Nó cũng mới được hác đến ở $Mathlink.ro$ ở một dạng tương tự$\fbox{Tổng quát :}$ Cho đa thức bậc $n$ thỏa $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+1$ với các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh $P(x)\ge 3$
http://www.artofprob...p?f=36&t=517709
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
