$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi prince123456: 05-01-2013 - 06:41
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi prince123456: 05-01-2013 - 06:41
I. Phân tích tìm cách giải:Gọi a, b, c là dộ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và ha,hb,hc là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh đó; la, lb, lc là độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C; r, R lần lượt là bán kinhs đường tròn nội tiếp và ngoai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq \sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Beautifulsunrise: 04-01-2013 - 13:51
Công thức chỗ tô đỏ sai thì sao làm ra được ? Công thức đường phân giác trong phải là $l_{a}=\frac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{b+c}$,việc chứng minh còn lại không khó.$\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} = \frac{{\frac{{2\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}{a}}}{{2.\sqrt {\frac{{bcp(p - a)}}{{b + c}}} }} = \frac{{\sqrt {(b + c)(p - b)(p - c)} }}{{a\sqrt {bc} }}$.
....................................................................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-01-2013 - 19:05
Tóm tắt lời giải:1 BĐT tương tự cho $m_{a};m_{b};m_{c}$ là :
Chứng minh $\frac{m_{a}}{h_{a}}+\frac{m_{b}}{h_{b}}+\frac{m_{c}}{h_{c}} \le 1+\frac{R}{r}$.
Sử dụng các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác theo độ dài các cạnh:Gọi a, b, c là dộ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và ha,hb,hc là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh đó; la, lb, lc là độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C; r, R lần lượt là bán kinhs đường tròn nội tiếp và ngoai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
Sử dụng các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác theo độ dài các cạnh:
$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$l_a=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$
trong đó $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$, ta được:
$\frac{h_a}{l_a}=\frac{b+c}{a\sqrt{bc}}\sqrt{(p-b)(p-c)}$ và hai hệ thức tương tự:
$\frac{h_b}{l_b}=\frac{c+a}{b\sqrt{ca}}\sqrt{(p-c)(p-a)}$
$\frac{h_c}{l_c}=\frac{a+b}{c\sqrt{ab}}\sqrt{(p-a)(p-b)}$
Từ đó, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$, ta được (với $S$ là diện tích tam giác):
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{8S^2}{pabc}}=3\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
(vì $(b+c)(c+a)(a+b) \geq 8abc$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c, lúc đó $\Delta ABC$ đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 10-01-2013 - 18:56
Tất nhiên bài toán này có nhiều cách giải khác nhau dựa trên các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác. Không những thế, bài toán này còn có thể tính theo cả góc $A, B$ và $C$. Chẳng hạn: $h_a=bsinC(=csinB),l_a=\frac{2bc}{b+c}cos\frac{A}{2},v.v...$bài làm hơi khó hiểu, và lại còn phải chứng minh thêm bdt phụ nũa. nên ap dung côsi 2 số
cho ha/la , hb/lb, hc/lc rùi moi dung cosi 3 số tiếp thì đơn giản hơn.
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh