Cho hàm số $f(x)$ liên tục, đơn điệu tăng và thỏa mãn $f(x)>0$ trên $[a;b]$ $g(x)$ là hàm ngược của $f(x)$
Chứng minh rằng:
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {g\left( x \right)} dx = bf\left( b \right) - af\left( a \right)\]
#2
Đã gửi 06-01-2013 - 16:08
phudinhgioihan
-
- Biên tập viên
-
- 348 Bài viết
PĐGH$\Leftrightarrow$TDST
Cho hàm số $f(x)$ liên tục, đơn điệu tăng và thỏa mãn $f(x)>0$ trên $[a;b]$ $g(x)$ là hàm ngược của $f(x)$
Chứng minh rằng:
\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {g\left( x \right)} dx = bf\left( b \right) - af\left( a \right)\]
Đổi biến $x=f(t) $ , do $f$ đơn điệu tăng nên $f(t)=f(a) \Rightarrow t=a $ , $f(t)=f(b) \Rightarrow t=b $
$$\int_{f(a)}^{f(b)} g(x) dx=\int_a^b f'(t) g(f(t))dt =\int_a^b x f'(x)dx $$
$$\Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {g\left( x \right)} dx = \int_a^b (f(x)+x f'(x)) dx$$
$$=\int_a^b (xf(x))'dx=bf(b)-af(a)$$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
