Chủ đề này có 1 trả lời

[dactai10a1]

Cho n là số nguyên dương.Tính $\left\lfloor {\frac{{10 \times C_{2n}^n\sqrt n }}{{{4^n}}}} \right\rfloor $

@Dark templar:Cho bạn cái kết quả là 5 vậy,dựa trên $\lim_{n \to \infty}\frac{\binom{2n}{n}\sqrt{n}}{4^{n}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$.


bạn có thể làm rõ ra được không

@Dark templar: Cái này liên quan một phần đến dãy số Catalan đấy,đọc ở đây (tiếng Anh )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-01-2013 - 22:29

[Ispectorgadget]

Cho n là số nguyên dương.Tính $\left\lfloor {\frac{{10 \times C_{2n}^n\sqrt n }}{{{4^n}}}} \right\rfloor $

 

Xét các dãy số $\left\{ {{a}_{n}} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ xác định như sau:${{a}_{n}}=\frac{\sqrt{n}C_{2n}^{n}}{{{4}^{n}}}$ ; ${{b}_{n}}={{a}_{n}}{{e}^{\frac{1}{8n}}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

 

Ta có: $\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\frac{2n+1}{2\sqrt{n\left( n+1 \right)}}=\frac{2n+1}{\sqrt{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}-1}}>1$, $\forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.

 

Suy ra: $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ là dãy tăng. Do đó: ${{a}_{n}}\ge {{a}_{1}}=\frac{1}{2},\forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.                                                                                   (1)

Ta có: $\frac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}=\frac{2n+1}{2\sqrt{n\left( n+1 \right)}{{e}^{\frac{1}{8n\left( n+1 \right)}}}}<1$                                                                                                             (2)

 

Thật vậy $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{2\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }} < {e^{\frac{1}{{8n\left( {n + 1} \right)}}}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{2n + 1}}{{2\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }}} \right)^{8n\left( {n + 1} \right)}} < e$

 

$ \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{1}{{4n\left( {n + 1} \right)}}} \right)^{4n\left( {n + 1} \right)}} < e\;\; (3)$

 

(3) đúng do $e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ và $\left\{ {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}} \right\}$ là dãy số tăng.

 

Từ đó: ${{a}_{n}}<{{a}_{n}}{{e}^{\frac{1}{8n}}}\le {{a}_{1}}{{e}^{\frac{1}{8}}}=\frac{1}{2}\sqrt[8]{8}<0,6$                                                                                                                                    (4)

 

Từ (1) và (4) ta có được:      $5\le 10{{a}_{n}}<6$

. Suy ra:$\left[ 10{{a}_{n}} \right]=5$

.