2 replies to this topic

[Oral1020]

Chứng minh rằng với mọi số $\text{n}$ là số chẵn thì:
$$\text{A}=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{7n}{15} \text{cũng là số chẵn}$$

Edited by Oral1020, 06-01-2013 - 17:29.

[DarkBlood]

Chứng minh rằng với mọi số $\text{n}$ là số chẵn thì:
$$\text{A}=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{7n}{15} \text{cũng là số chẵn}$$

Ta có:
$A=\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7n}{15}=\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}$
Vì $n$ chẵn nên $3n^5+5n^3+7n$ chẵn. Do đó để chứng minh $A$ là một số chẵn, thì $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $15=3.5,$ mà $(3;5)=1$ nên ta cần chững minh $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $3;$ $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $5$.
Thất vậy, ta có:
$\bullet$ $3n^5+5n^3+7n=3n^5+6n^3+6n-(n^3-n)$
$=3n^5+6n^3+6n-(n-1)n(n+1)$ $\vdots $ $3.$
$\bullet$ $3n^5+5n^3+7n=5n^3+5n^5+5n-2(n^5-n)$
$=5n^3+5n^5+5n-2(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-10(n-1)n(n+1)$ $\vdots $ $5.$
Vậy $A$ là một số chẵn.
___________________
P/s: Vẫn không thoát khỏi VMF được @@.

Edited by Hoang Huy Thong, 06-01-2013 - 18:18.

[Oral1020]

Ta có:
$A=\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7n}{15}=\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}$
Vì $n$ chẵn nên $3n^5+5n^3+7n$ chẵn. Do đó để chứng minh $A$ là một số chẵn, thì $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $15=3.5,$ mà $(3;5)=1$ nên ta cần chững minh $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $3;$ $3n^5+5n^3+7n$ $\vdots $ $5$.
Thất vậy, ta có:
$\bullet$ $3n^5+5n^3+7n=3n^5+6n^3+6n-(n^3-n)$
$=3n^5+6n^3+6n-(n-1)n(n+1)$ $\vdots $ $3.$
$\bullet$ $3n^5+5n^3+7n=5n^3+5n^5+5n-2(n^5-n)$
$=5n^3+5n^5+5n-2(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-10(n-1)n(n+1)$ $\vdots $ $5.$
Vậy $A$ là một số chẵn.
___________________
P/s: Vẫn không thoát khỏi VMF được @@.

Hay đấy.Nhưng sao bạn không làm thế này cho nhanh:
$3n^5+5n^3+7n=3n^5-3n+5n^3-5n+15n=3(n^5-n)+5(n^3-n)+15n \vdots 15$ cho nhanh