Chủ đề này có 1 trả lời

[tran thanh binh dv class]

Cho tam giác ABC $ O, (I)$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $M$ là trung điểm của $BC$. $K$ là điểm đối xứng của $ M$ qua $AI$. Chứng minh rằng $KD$ vuông với $OI$

[BoBoiBoy]

Gọi $P;H;Q$ lần lượt là giao của $AI$ với $BC$;$KH$ và $(O)$.
Do $K$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AI$ nên $\angle PKQ= \angle PMQ=90^{\circ};\angle DMK= \angle KQP=\angle MQP$.
Nhận thấy nếu $DK \perp OI$ thì $\angle KDM=\angle IOQ$(vì $OM \perp BC$)
Do đó để chứng minh $DK \perp OI$ ta sẽ chứng minh $\angle KDM=\angle IOQ$ hay chính là $\Delta KDM\sim \Delta IOQ$.
Mà $\angle DMK= \angle IQO$ nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{DK}{MK}=\frac{OQ}{IQ}$. (1)
Ta có:
$ID\parallel OM \Rightarrow \frac{DM}{IQ}=\frac{MP}{QP}=\frac{MH}{MQ}=\frac{MK}{2MQ}$
Do đó (1) tương đương với $IQ^2.\frac{MK}{2MQ}=OQ.MK$ hay $IQ^2=2.OQ.MK$.
Đẳng thức trên hiển nhiên đúng do $IQ=CQ;OQ=R$ và đẳng thức quen thuộc $CQ^2=2.MQ.R$(chứng minh bằng cách lấy điểm đối xứng với $Q$ qua $O$)
Vậy $DK$ vuông góc với $OI$