Chủ đề này có 1 trả lời

[tramyvodoi]

CHo x,y,z là 3 số dương thỏa $x+y+z=1$. Chứng minh:
$(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2})\geq 8(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})^{2}$

[duongvanhehe]

CHo x,y,z là 3 số dương thỏa $x+y+z=1$. Chứng minh:
$(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(z^{2}+x^{2})\geq 8(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})^{2}$

Ta có:
$(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-x^2y^2z^2$
$=(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-x^2y^2z^2(x+y+z)^2$
$\geq (x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-xyz(x+y+z)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
Nên ta chỉ cần chứng minh được:
$(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)-xyz(z+y+z)\geq 8(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
Sử dụng BĐT Schur ta có:
$(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)-xyz(x+y+z)=(x^2+y^2+z^2)^2+2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)-xyz(x+y+z)$
$=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+2\sum xy(x^2+y^2)+2xyz(x+y+z)-xyz(x+y+z)$
$\geq 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3\sum xy(x^2+y^2)\geq 8(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$$(x+y+z)^2(x^2+y^2+z^2)-xyz(x+y+z)$
$=(x^2+y^2+z^2)^2+2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)-xyz(x+y+z)$
$=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+2\sum xy(x^2+y^2)+2xyz(x+y+z)-xyz(x+y+z)$
$\geq 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3\sum xy(x^2+y^2)\geq 8(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$