Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $$f\left( x+y \right)=f\left( x \right)f\left( y \right)-c\sin x\sin y$$ trong đó $c$là hằng số lớn hơn 1
Tìm $$f\left( x+y \right)=f\left( x \right)f\left( y \right)-c\sin x\sin y$$
Bắt đầu bởi phatthientai, 07-01-2013 - 23:15
#2
Đã gửi 18-03-2013 - 17:04
namcpnh
-
- Hiệp sỹ
-
- 1153 Bài viết
Red Devil
Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa $$f\left( x+y \right)=f\left( x \right)f\left( y \right)-c\sin x\sin y$$ trong đó $c$là hằng số lớn hơn 1
Bài này tính toán hơi dài nên mình định hướng giải còn các bạn giải nghe.
Thên biến $z\in \mathbb{R}$ ta có:
$f(x+y+z)=f(x)f(y+z)-csinx.sin(y+z)=f(x)[f(y)f(z)-csiny.sinz]-csin(y+z)$
Mà $f(x+y+z)=f(y)f(x+z)-csiny.sin(x+z)=f(y)[f(x)f(z)-csinx.sinz]-csin(x+z)$
Từ đó dễ dàng tìm được $f(x)=ccosx$
Mọi người xem lại kết quả dùm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 19-03-2013 - 17:34
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#3
Đã gửi 19-03-2013 - 12:39
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Bài này tính toán hơi dài nên mình định hướng giải còn các bạn giải nghe.
Thên biến $z\in \mathbb{R}$ ta có:
$f(x+y+z)=f(x)f(y+z)-csinx.sin(y+z)=f(x)[f(y)f(z)-csiny.sinz]-csin(y+z)$
Mà $f(x+y+z)=f(y)f(x+z)-csiny.sin(x+z)=f(y)[f(x)f(z)-csinx.sinz]-csin(x+z)$
Từ đó dễ dàng tìm được $f(x)=ccosx$
Sử dụng thêm biến thì đúng rồi nhưng đáp án là $f(x)=\sqrt{c-1}\cdot \sin x +\cos x$ hoặc $f(x)=-\sqrt{c-1}\cdot \sin x +\cos x$ . Đây là đề Indian TST 2004 
- namcpnh và WhjteShadow thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
