Chủ đề này có 3 trả lời

[tramyvodoi]

Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là $3$ số thực thỏa $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng :
$\sum \frac{18a-35}{a^{2}-4a+6}\geq -17$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-01-2013 - 20:45

[lehoanghiep]

Bài này thì tiếp tuyến là được :

Xét hàm $f\left ( t \right )=\frac{18t-35}{t^2-4t+6}$ với $t \in \left ( -\infty ;3 \right ]$

Ta chứng minh $f\left (t \right )\geq \frac{20t-71}{9}$ $\left ( * \right )$, điều này tương đương với : $\frac{18t-35}{t^2-4t+6}\geq \frac{20t-71}{9}$

$\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )^2.\left (20t-111 \right )\leq 0$ luôn đúng $\forall t \in \left ( -\infty;3 \right ]$, như vậy $\left ( * \right )$ được chứng minh.

Áp dụng đánh giá $\left ( * \right )$ vào bài toán ta được :
$$\frac{18a-35}{t^2-4t+6}+\frac{18a-35}{t^2-4t+6}+\frac{18a-35}{t^2-4t+6}\geq \frac{20(a+b+c)-213}{9}=-17$$
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

Sao lại có tập $\left (-\infty ;3\right ]$ vậy em?

[nthoangcute]

Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là $3$ số thực thỏa $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng :
$\sum \frac{18a-35}{a^{2}-4a+6}\geq -17$

Cũng tương tự mấy bài BĐT kia thôi !
Ta có: $(a-1)+(b-1)+(c-1)=0$ nên tồn tại 2 số trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ cùng dấu
Không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1) \geq 0$
Suy ra $b^2+c^2 \leq 1+(b+c-1)^2=1+(2-a)^2$
Ta có:
$ \frac{18b-35}{b^{2}-4b+6}-\dfrac{1+\sqrt{649}}{4}+\frac{18c-35}{c^{2}-4c+6}-\dfrac{1+\sqrt{649}}{4}$
$=\dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} (\dfrac{(18b-35+\sqrt{649})^2}{b^2-4b+6}+\dfrac{(18c-35+\sqrt{649})^2}{c^2-4c+6})$
$\geq \dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{(18(b+c)-70+2\sqrt{649})^2}{b^2+c^2-4(b+c)+12}$
$\geq \dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{4(9a+8-\sqrt{649})^2}{5+a^2}$
Cần chứng minh:
$\dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{4(9a+8-\sqrt{649})^2}{5+a^2}+2(\dfrac{1+\sqrt{649}}{4})+\frac{18a-35}{a^{2}-4a+6}\geq -17$
Tương đương với:
$$ \left( 1028\, \left( a-{\frac {376}{
257}}+{\frac {2}{257}}\,\sqrt {649} \right) ^{2}+{\frac {16553}{257}}
\,\sqrt {649}+{\frac {1736341}{257}} \right) \left( a-1 \right) ^{2}
\geq 0$$
Xong !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 10-01-2013 - 15:43

[viet 1846]

Cũng tương tự mấy bài BĐT kia thôi !
Ta có: $(a-1)+(b-1)+(c-1)=0$ nên tồn tại 2 số trong 3 số $(a-1),(b-1),(c-1)$ cùng dấu
Không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1) \geq 0$
Suy ra $b^2+c^2 \leq 1+(b+c-1)^2=1+(2-a)^2$
Ta có:
$ \frac{18b-35}{b^{2}-4b+6}-\dfrac{1+\sqrt{649}}{4}+\frac{18c-35}{c^{2}-4c+6}-\dfrac{1+\sqrt{649}}{4}$
$=\dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} (\dfrac{(18b-35+\sqrt{649})^2}{b^2-4b+6}+\dfrac{(18c-35+\sqrt{649})^2}{c^2-4c+6})$
$\geq \dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{(18(b+c)-70+2\sqrt{649})^2}{b^2+c^2-4(b+c)+12}$
$\geq \dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{4(9a+8-\sqrt{649})^2}{5+a^2}$
Cần chứng minh:
$\dfrac{-1+\sqrt{649}}{1296} \dfrac{4(9a+8-\sqrt{649})^2}{5+a^2}+2(\dfrac{1+\sqrt{649}}{4})+\frac{18a-35}{a^{2}-4a+6}\geq -17$
Tương đương với:
$$ \left( 1028\, \left( a-{\frac {376}{
257}}+{\frac {2}{257}}\,\sqrt {649} \right) ^{2}+{\frac {16553}{257}}
\,\sqrt {649}+{\frac {1736341}{257}} \right) \left( a-1 \right) ^{2}
\geq 0$$
Xong !!!

:-ss nhìn hãi quá.