$\frac{a^3}{a+b} + \frac{b^3}{b+c} + \frac{c^3}{c+a} \geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ac)$ (a,b,c>0)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rikimaru: 09-01-2013 - 16:56
$(1+\frac{b}{a})(1+\frac{2c}{b})(2+\frac{3a+b}{c}) \geq 36 (a,b,c>0)$
Bắt đầu bởi rikimaru, 09-01-2013 - 16:37
#1
Đã gửi 09-01-2013 - 16:37
rikimaru
-
- Thành viên
-
- 38 Bài viết
Binh nhất
$(1+\frac{b}{a})(1+\frac{2c}{b})(2+\frac{3a+b}{c}) \geq 36$ (a,b,c>0)
$\frac{a^3}{a+b} + \frac{b^3}{b+c} + \frac{c^3}{c+a} \geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ac)$ (a,b,c>0)
$\frac{a^3}{a+b} + \frac{b^3}{b+c} + \frac{c^3}{c+a} \geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ac)$ (a,b,c>0)
#2
Đã gửi 09-01-2013 - 17:02
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
1/ Áp dụng AM-GM ta có:
$VT=\frac{(a+b)(b+2c)(3a+b+2c)}{abc}\geq \frac{2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{bc^{2}}.6\sqrt[6]{a^{3}bc^{2}}}{abc}=\frac{36abc}{abc}= 36$
ĐTXR khi $a=b=c$
2/ Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{a^{3}}{a+b}+\frac{a(a+b)}{4}\geq a^{2}$
Tương tự suy ra $\frac{a^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}}{c+a}+\frac{a^{2}+ab}{4}+\frac{b^{2}+bc}{4}+\frac{c^{2}+ca}{4}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}}{c+a}\geq \frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
$VT=\frac{(a+b)(b+2c)(3a+b+2c)}{abc}\geq \frac{2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{bc^{2}}.6\sqrt[6]{a^{3}bc^{2}}}{abc}=\frac{36abc}{abc}= 36$
ĐTXR khi $a=b=c$
2/ Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{a^{3}}{a+b}+\frac{a(a+b)}{4}\geq a^{2}$
Tương tự suy ra $\frac{a^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}}{c+a}+\frac{a^{2}+ab}{4}+\frac{b^{2}+bc}{4}+\frac{c^{2}+ca}{4}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{a+b}+\frac{b^{3}}{b+c}+\frac{c^{3}}{c+a}\geq \frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 09-01-2013 - 17:03
- phatthemkem yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
