Chủ đề này có 1 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn với mọi $-1\leq x\leq1$. Biết $|f(x)|\leq p$. Tìm số $q$ nhỏ nhất sao cho $|a|+|b|+|c|\leq p.q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 10-01-2013 - 20:17

[chaugaihoangtuxubatu]

Có : $f(-1)=a-b+c$
$f(0)=c$
$f(1)=a+b+c$
$\Rightarrow a=\frac{f(-1)+f(1)}{2}-f(0); b=f(1)-\frac{f(-1)+f(1)}{2}; c=f(0)$
$\Rightarrow |a|+|b|+|c|=|\frac{f(-1)+f(1)}{2}-f(0)|+|f(1)-\frac{f(-1)+f(1)}{2}|+|f(0)|$
Dễ dàng chứng minh các bổ đề sau : $|x+y|\leq |x|+|y|$ và $|x-y|\leq|x|+|y|$
Áp dụng ta được $|a|+|b|+|c|=|\frac{f(-1)+f(1)}{2}-f(0)|+|f(1)-\frac{f(-1)+f(1)}{2}|+|f(0)|$
$\leq |\frac{f(-1)}{2}|+|\frac{f(1)}{2}|+|f(0)|+|f(1)|+|\frac{f(-1)}{2}|+|\frac{f(1)}{2}|$
$=2|f(1)|+|f(0)|+|f(-1)|\leq 2p+p+p=4p$
Dấu bằng xảy ra $\leftrightarrow f(0)=f(-1)=f(1)=p$
$\leftrightarrow c=p; a=b=0$
Vậy $qmin=4\leftrightarrow c=p;a=b=0$