Chủ đề này có 1 trả lời

[quagn1998]

Hình vuông $\text{ABCD}$ có cạnh bằng $\sqrt[3]{4,8645}$. Gọi $\text{d}$ là đường thẳng đi qua tâm $\text{O}$ của hình vuông nhưng không đi qua các đỉnh. Tính tổng các bình phương các khoảng cách từ đỉnh hình vuông đến đường thẳng $\text{d}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 13-01-2013 - 11:53

[banhgaongonngon]

Hình vuông $\text{ABCD}$ có cạnh bằng $\sqrt[3]{4,8645}$. Gọi $\text{d}$ là đường thẳng đi qua tâm $\text{O}$ của hình vuông nhưng không đi qua các đỉnh. Tính tổng các bình phương các khoảng cách từ đỉnh hình vuông đến đường thẳng $\text{d}$.

Đặt $a=\sqrt[3]{4,8645}>0$ là độ dài cạnh hình vuông $ABCD$
Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là hình chiếu của $A,B,C,D$ lên đường thẳng $d$.
Ta có $\Delta BON=\Delta DOQ\rightarrow BN=DQ$$\Delta AOM=\Delta COP\rightarrow AM=CP$
Nên $AM^{2}+BN^{2}+CP^{2}+DQ^{2}=2(AM^{2}+DQ^{2})$
Mặt khác, $\Delta AOM=\Delta ODQ(ch-gn)\rightarrow AM=OQ$
Theo định lý $Pythagoras$ ta có $AM^{2}+DQ^{2}=OQ^{2}+DQ^{2}=OD^{2}=\left (\frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=\frac{1}{2}a^{2}$
Vậy $AM^{2}+BN^{2}+CP^{2}+DQ^{2}=a^{2}$