Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhdotk14]

Chứng minh rằng :
$$\sqrt[n]{sinA}+\sqrt[n]{sinB}+\sqrt[n]{sinC}\leq 3\sqrt[n]{\frac{3}{4}}$$

[hoangkkk]

Chứng minh rằng :
$$\sqrt[n]{sinA}+\sqrt[n]{sinB}+\sqrt[n]{sinC}\leq 3\sqrt[n]{\frac{3}{4}}$$

Không biết cách này đúng hay sai chỗ nào, mong moi người chỉ giáo giúp (trình độ có hạn)

Đặt $P$ là vết trái của bất đẳng thức cần phải chứng minh. Ta có :
$$P=\sqrt[n]{\sin A}+\sqrt[n]{\sin B}+\sqrt[n]{\sin C}$$
$$=\left ( \sin A \right )^{\frac{1}{n}}+\left ( \sin B \right )^{\frac{1}{n}}+\left ( \sin C \right )^{\frac{1}{n}}$$
Lấy logarit nê-pe của hai vế ta được :
$$\ln P=\frac{1}{n} \left ( \ln \left ( \sin A \right )+\ln \left ( \sin B \right )+\ln \left ( \sin C \right ) \right )$$
Xét hàm $f(x)=\ln \left ( \sin x \right )$ với $x\in \left ( 0;\pi \right )$, ta có :
$$f'(x)=\cot x\Rightarrow f''(x)=\frac{-1}{\sin^2 x}< 0$$, như vậy $f$ là hàm lõm với mọi $x\in \left ( 0;\pi \right )$.
Áp dụng bất đẳng thức Jensen :
$$\ln P \leq \frac {3}{n}\left ( \ln \left (\frac{ \sin A+\sin B+\sin C }{3}\right ) \right )$$
Mặt khác trong tam giác $ABC$ ta biết rằng $\sin A, \sin B, \sin C \geq 0$ và bổ đề quen thuộc $\sin A+\sin B+\sin C \leq 3\sqrt{\frac{3}{4}}$ nên suy ra được :
$$\frac {3}{n}\left ( \ln \left ( \frac{ \sin A+\sin B+\sin C }{3} \right ) \right ) \leq \frac{3}{n}\ln \sqrt{\frac{3}{4}}=3\ln \sqrt[n]{\frac{3}{4}}$$.
Như vậy ta suy ra được $P \leq 3\sqrt[n]{\frac{3}{4}}$
Chỉ thắc mắc là nếu $n <0$ thì không biết có tồn đọng cái gì không nhỉ.

[25 minutes]

Chứng minh rằng :
$$\sqrt[n]{sinA}+\sqrt[n]{sinB}+\sqrt[n]{sinC}\leq 3\sqrt[n]{\frac{3}{4}}$$

Áp dụng bđt sau $\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}+\sqrt[n]{z}\leq 3\sqrt[n]{\frac{x+y+z}{3}}$
Suy ra $\sqrt[n]{sinA}+\sqrt[n]{sinB}+\sqrt[n]{sinC}\leq 3\sqrt[n]{\frac{sinA+sinB+sinC}{3}}\leq 3\sqrt[n]{sin\frac{\pi }{3}}$ ?

[lehoanghiep]

Lấy logarit nê-pe của hai vế ta được :
$$\ln P=\frac{1}{n} \left ( \ln \left ( \sin A \right )+\ln \left ( \sin B \right )+\ln \left ( \sin C \right ) \right )$$

$ln\left ( xyz \right )=lnx+lny+lnz \left ( x,y,z>0 \right )$ em à.

[viet 1846]

Mặt khác trong tam giác $ABC$ ta biết rằng $\sin A, \sin B, \sin C \geq 0$ và bổ đề quen thuộc $\sin A+\sin B+\sin C \leq 3\sqrt{\frac{3}{4}}$ nên suy ra được :

Tam giác ở đâu vậy bạn?