Chủ đề này có 5 trả lời

[Nesbit]

Mới thấy bài toán này trên diễn đàn, có một kỉ niệm nho nhỏ với bài toán này nên muốn thảo luận với các bạn chơi.

Bài toán. Cho các số dương $a,b,c,d > 0$ có tổng bằng $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}.$$

Bài toán này được post ở đây: http://diendantoanho...c3d3geq-frac14/
Trong topic trên cũng có bạn đưa link tới bài toán sau, tương tự: http://diendantoanho...-t5x4-y4-z4-t4/

Có một số bạn đã post lời giải, sử dụng BDT Cauchy-Swcharz (tức Bu-nhi-a-cốp-ski với một số bạn) hoặc Chebysev (Trê-bư-sép).

Đây là một bài toán dễ, thậm chí là rất dễ. Tuy nhiên việc tìm cho nó một lời giải cực kì sơ cấp, thuộc kiến thức trung học cơ sở thì chưa chắc đã dễ.

Vậy: bạn có thể giải được bài này một cách sơ cấp nhất hay không ?

Đó là chủ đề thảo luận. Xin mời các bạn tham gia. Để xem ai giải được bằng cách sơ cấp nhất nào!

[nthoangcute]

Bài toán. Cho các số dương $a,b,c,d > 0$ có tổng bằng $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}.$$

Cách sơ sơ cấp:
Ta có: $4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{64}(16a^2+4a+1)(4a-1)^2 \geq 0$
Suy ra $\sum (4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}) \geq 0$
Suy ra $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3} \geq \dfrac{1}{4}$
P/s: Hơi ảo !

[chaugaihoangtuxubatu]

Cách sơ sơ cấp:
Ta có: $4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}=\dfrac{1}{64}(16a^2+4a+1)(4a-1)^2 \geq 0$
Suy ra $\sum (4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}) \geq 0$
Suy ra $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3} \geq \dfrac{1}{4}$
P/s: Hơi ảo !

Em chưa hiểu chỗ $\sum (4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}) \geq 0$
Suy ra $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3} \geq \dfrac{1}{4}$
Anh giải thích giúp em với ạ.

[nthoangcute]

Em chưa hiểu chỗ $\sum (4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64}) \geq 0$
Suy ra $\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3} \geq \dfrac{1}{4}$
Anh giải thích giúp em với ạ.

Cộng tất cả với nhau ta được:
$\sum (4a^4-a^3-\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{64})=4(a^4+b^4+c^4+d^4)-(a^3+b^3+c^3+d^3)-\dfrac{1}{16} (a+b+c+d)+\dfrac{1}{16} \geq 0$
Suy ra OK.

[Ispectorgadget]

Bài toán. Cho các số dương $a,b,c,d > 0$ có tổng bằng $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}.$$

Chú ý rằng nếu $C=D$. Chứng minh $A\ge B$, ta chứng minh:

$(A-B)+(D-C)\ge 0$. Từ đó giúp có $A-B \ge 0 \Leftrightarrow A\ge B$.
Lời giải:
Để ý rằng $\left(a-\frac{1}{4} \right )\left(a^3-\frac{1}{64} \right )\ge 0$
Thật vậy:
$\bigstar$ Nếu $a\ge \frac{1}{4}$ thì $a^3 \ge \frac{1}{64}$ nên $a-\frac{1}{4}\ge 0 $ và $a^3-\frac{1}{64}\ge 0$

Do đó $\left(a-\frac{1}{4} \right )\left(a^3-\frac{1}{64} \right )\ge 0$

$\bigstar$ Nếu $a\le \frac{1}{4}$ thì $a^3 \le \frac{1}{64}$ nên $a-\frac{1}{4}\le 0 $ và $a^3-\frac{1}{64}\le 0$
Do đó $\left(a-\frac{1}{4} \right )\left(a^3-\frac{1}{64} \right )\ge 0$
Mà $\left(a-\frac{1}{4} \right )\left(a^3-\frac{1}{64} \right )=a^4-\frac{a}{64}-\frac{a^3}{4}+\frac{1}{256}$
Do đó \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} \ge \frac{{a + b + c + d}}{{64}} - \frac{1}{{64}} + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3}}}{4}\]
\[ \Rightarrow \frac{{{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4}}}{{{a^3}{ + ^3} + {c^3} + {d^3}}} \ge \frac{1}{4}\]

Tổng quát hơn:
Chứng minh rằng nếu $a_1+a_2+a_3+...+a_n\ge n (n\in \mathbb{N}^*)$ thì $$a_1^{2m+1}+a_2^{2m+1}+...+a_n^{2m+1}\le a_1^{2m+1}+a_2^{2m+1}+...+a_n^{2m+1}$$

[Nesbit]

Hoan hô nthoangcute và Ispectorgadget, các bạn đã tìm ra rất nhanh chóng

Dưới đây là một bài viết đăng trên TTT2 cách đây khoảng 6, 7 năm. Các bạn đừng cười






@haisupham: mấy bài kiểu bạn vừa nêu cũng có thể giải được bằng cách sơ cấp. Ý tưởng ở đây.