Chủ đề này có 8 trả lời

[vietnamesegauss89]

Ở lớp mình có 1 bài toán như sau:
*)cho tập A={1,1,2,2,3,3,....,2006,2006}.Xét các hoán vị các phần tử của A.Hỏi tồn tại hay không 1 hoán vị thỏa mãn với mỗi k(1 k 2006)giữa 2 số k có đúng k số khác
Một cách tương tự,mình đã CM được kết quả sau:
*)cho n N*,n 3.cho tập hợp A={1,1,2,2,...,n,n}Xét các hoán vị các phần tử của A.Giả sử tồn tại 1 hoán vị thỏa mãn với mỗi k(1 k n)giữa 2 số k có đúng k số số khác.CMR:n có dạng 4k hoặc 4k-1
Vậy phải chăng mọi số n có dạng như vậy đều thỏa mãn bài toán.Mình đã tìm được với vài số n đầu tiên(3,4,7,8,11,12,15,16)nhưng tổng quát thì chưa.Các cao thủ giúp mình với

[emvaanh]

Không biết có nhầm hay không chứ bài này có trong cuốn " Tuyển Tập Các Đề Thi Vô Địch 19 nuớc ". Giả thuyết của bạn là đúng.

[vietnamesegauss89]

Bạn có thể viết cụ thể ra được không

[emvaanh]

Bài toán trong quyển sách là tìm mọi số nguyên dương n có tính chất P: tồn tại một cách xếp 2n là 1,1,2,2...,n,n sao cho giữa hai số k có đúng k số (với mọi k=1,2,...,n)
Hướng giải:
1) Nếu n có tính chất P thì n phải có dạng 4k hoặc 4k-1 ( CM điền này khá dễ)
2) Ngược lại, mọi số có dạng 4k và 4k-1 cũng có tính chất P.
Vấn đề mấu chốt là ở chỗ này. Cách giải là chỉ ra trực tiếp cách sắp xếp thỏa đề (mà không thể nào dùng quy nạp hau gì khác cả). Điều này thật là bất ngờ, tuy nhiên sự thật là thế.

Hướng giải là thế bạn thử cố gắng thêm tí nữa xem!!!

<->l'll return if you need to be helped again!

[vietnamesegauss89]

Thì rõ ràng hướng giải là như vậy,vấn đề là làm cách nào để mò ra cách sắp xếp các số.Nếu bạn emvaanh tìm được thì chỉ cho mình với

[emvaanh]

n=3 (2,3,1,2,1,3)

n=4 (2,3,4,2,1,3,1,4)

n=4k (k>1)
4k-4,...,2k,4k-2,2k-3,...,1,4k-1,1,...,2k-3,2k,...,4k-4,4k-3,...,2k+1,4k-2,2k-2,...,2,2k-1,4k-1,2,...,2k-2,2l+1,...,4k-3,2k-1,4k

n=4k-1 (k>1)
4k-4,...,2k,4k-2,2k-3,...,1,4k-1,1,...,2k-3,2k,...,4k-4,2k-1,4k-3,...,2k+1,4k-2,2k-2,...,2,2k-1,4k-1,2,...,2k-2,2k+1,...,4k-3

dấu ... =cấp số cộng công sai +2 hoặc -2

[tanlsth]

cách sắp xếp này có trong cuốn DỰ TUYỄN OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ ẤY
trong dó là một bài hệ phương trình
cánh sắp xếp này cũng dễ thôi

[shinichikudo]

Vậy đây có phải cách duy nhất ko nhỉ.Câu trả lời của mình là không.Thậm chí với n càng lớn thì số cách sắp xếp càng nhiều.Xin nêu bài toán sau để mọi người cùng nghĩ:Cho n có dạng 4k hoặc 4k-1.Tìm số hoán vị thỏa mãn điều kiện trên

[Merlyn]

Quả là một bài toán thú vị!!!
Từ khi đọc bài toán này tôi vẫn thắc mắc có thể chuyển nó thành bài toán sắp xếp các số trên đường tròn không.Nếu thế sẽ khó hơn rất nhiều,nhưng rất đẹp.Mọi người thử xem!