Bài 19: Cho a,b,c >0. CMR:
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^{2}}}{2}$
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^{2}}}{2}$
Bắt đầu bởi Nguyen Duc Thuan, 15-01-2013 - 20:21
#1
Đã gửi 15-01-2013 - 20:21
Nguyen Duc Thuan
-
- Thành viên
-
- 367 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 15-01-2013 - 21:29
ht2pro102
-
- Thành viên
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
Ta có:
$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3\geq (\sum a^2b^2)(\sum a^2+\sum ab)$
Lần lượt áp dụng các bất đẳng thức:
$(\sum a^2b^2)\leq \frac{(\sum a^2)^2}{3}$
$\sum ab\leq \sum a^2$
Ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^4}{a^2(b+c)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}$
Ta sẽ chứng minh:
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum ab(a+b)}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^2}}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^3\geq (\sum a^2b^2)(\sum a^2+\sum ab)$
Lần lượt áp dụng các bất đẳng thức:
$(\sum a^2b^2)\leq \frac{(\sum a^2)^2}{3}$
$\sum ab\leq \sum a^2$
Ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
- Oral1020 yêu thích
#3
Đã gửi 15-01-2013 - 21:34
no matter what
-
- Thành viên
-
- 397 Bài viết
Why not me
Chebyshev thẳng cho bộ đơn điệu $(a^2,b^2,c^2);(\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b})$ +C-S cho mẫu(hình như có trong sáng tao BĐT thì phải)Bài 19: Cho a,b,c >0. CMR:
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{\sqrt{3\sum a^{2}}}{2}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
