Chủ đề này có 1 trả lời

[shoukano]

Cho $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa $\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}xf(x)dx =...=\int_{0}^{1}x^{n-1}f(x)dx = 0 , \int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx = 1$
Chứng minh rằng tồn tại a $\in$ [0,1] sao cho $ |f(a)|\geqslant 2^{n}(n+1)$

Bài này hướng đi cụ thể để giải quyết bài toán như thế nào nhỉ ? Theo em nghĩ thì chắc là xét 1 tích phân nào đó hả ?? Mọi người giúp em với

Cảm ơn ạ

[phudinhgioihan]

Cho $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa $\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}xf(x)dx =...=\int_{0}^{1}x^{n-1}f(x)dx = 0 , \int_{0}^{1}x^{n}f(x)dx = 1$
Chứng minh rằng tồn tại a $\in$ [0,1] sao cho $ |f(a)|\geqslant 2^{n}(n+1)$

Bài này hướng đi cụ thể để giải quyết bài toán như thế nào nhỉ ? Theo em nghĩ thì chắc là xét 1 tích phân nào đó hả ?? Mọi người giúp em với

Cảm ơn ạ

Từ giả thiết ta thấy rằng, với mọi đa thức $P_n$ bậc $n$ có hệ số chính bằng 1 thì ta luôn có $\int_0^1P_n(x) f(x)dx=\int_0^1 x^n f(x)dx $

Vậy $1=\int_0^1 P_n(x)f(x)dx$

$$\Rightarrow 1=\left|\int_0^1 P_n(x)f(x)dx \right| \le \int_0^1 \left|P_n(x) f(x) \right|dx \le \max_{x \in [0;1]}|f(x)| \int_0^1 \left |P_n(x) \right|dx$$

Vậy ta cần tìm $P_n$ sao cho $\int_0^1 \left|P_n(x) \right|= \dfrac{1}{2^n(n+1)}$

Đơn giản nhất, tìm $P_n$ dưới dạng lũy thừa, tức $P_n(x)=(x-k)^n$

Tìm $k$ sao cho $\int_0^1 |x-k|^n dx =\dfrac{1}{2^n(n+1)}$

Thử xét $k \in (0;1) $ thì ta có

$$\int_0^1 |x-k|^ndx=\int_0^k (k-x)^ndx+\int_k^1 (x-k)^ndx $$
$$=\dfrac{k^{n+1}+(1-k)^{n+1}}{n+1}$$

Vậy $k=\frac{1}{2}$

Tóm lại ta có: $$1 \le \max_{x \in [0;1]} f(x)\int_0^1 |x-\frac{1}{2}|^ndx $$
$$\Rightarrow \max_{x \in [0;1]} f(x) \ge 2^n(n+1)$$

Vậy $\exists a \in [0;1] \;\;, f(a)=\max_{x \in [0;1]} f(x) \ge 2^n(n+1)$