Đa thức là 1 mảng không nhỏ tr0ng toán sơ cấp, thường được xuất hiện tr0ng các kì thi HSG cấp tỉnh, quốc gia, đặc biệt là các kì thi dành ch0 các bạn học sinh lớp 10 ( Đồng bằng Bắc bộ, 30/4,...). Mình lập topic này để các bạn có thể giúp đỡ nhau học tốt phần này .
A_ Các khái niệm cơ bản.
$\bullet$ Định nghĩa:
Ta gọi đa thức bậc $n$ biến $x$ là 1 biểu thức có dạng:
$$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0\,\,(a_n\neq 0)$$
Tr0ng đó các số $a_i$ là hệ số, $a_n$ là hệ số bậc ca0 nhất và $a_0$ là hệ số tự do.
$\bullet$ Đa thức trên tập hợp $\mathbb{A}$ là đa thức dạng:
$P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k$, với $a_n\neq 0,a_i\in \mathbb{A}\,\forall i=\overline{1,n}$
Và kí hiệu $P_{(x)}\in \mathbb{A}[x]$
$\bullet$ 1 số định nghĩa khác:
+) Đa thức nguyên là đa thức $\in \mathbb{Z}[x]$
+) Đa thức xác định nguyên là đa thức $\in \mathbb{Z}\forall x\in \mathbb{Z}$
Ta định nghĩa 1 cách tương tự với đa thức dương, âm, xác định dương, xác định âm...
B_ 1 số tính chất, định lý thường dùng.
1. Định lý Bezóut:
2 đa thức $(P;Q)=1\Leftrightarrow $ tồn tại $R,S$ sa0 ch0 $PR+QS=1$
2. Tiêu chuẩn $Eisenstein$:
Ch0 đa thức: $P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k \in\mathbb{Z}[x]$. Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $a_n\ \vdots p$ , $a_0,...,a_{n-1}\vdots p$, và $a_0\ \vdots p^2$ thì $P_{(x)}$ là bất khả quy trên $\mathbb{Z}$
3. Tổng quát hóa tiêu chuẩn $Eisenstein$:
Ch0 đa thức: $P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k \in\mathbb{Z}[x]$. Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $a_n\not \vdots p$ , $a_0,...,a_{i}\vdots p$, và $a_0\not \vdots p^2$, $P_{(x)}=H_{(x)}.G_{(x)}$ thì: $Max \deg G,H\geq k+1$.
4. Tiêu chuẩn $Polya$
Cho $P\in\mathbb{Z}[x]$ bậc $n$ . Đặt $m=\left[\frac{n+1}{2}\right]$ .Giả sử $n$ số nguyên khác nhau $d_1,d_2,\ldots,d_n$ không là nghiệm của $P$ và thỏa mãn $f(d_i)<\frac{m!}{2^n}$ .
Khi đó $P$ bất khả quy.
5. Công thức nội suy $Lagrange$:
Cho $f\in \mathbb{R}$, $\deg f=n$ và $n+1$ số thực $\alpha_1;\alpha_2;...;\alpha_{n+1}$ cho trước thì $f$ được xác định như sau$$f(x)=f(\alpha_1).\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n+1})}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)...(\alpha_1-\alpha_{n+1})}+...+f(\alpha_{n+1}).\left(\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n)}{(\alpha_{n+1}-\alpha_1)(\alpha_{n+1}-\alpha_2)...(\alpha_{n+1}-\alpha_n)} \right )$$
Hay $f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}f(\alpha_i)\prod\limits_{j=1;j\neq i}^{n+1}\frac{x-\alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j}$
C. Các bài toán.
Bài toán 1.
Ch0 $p$ là số nguyên tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy:
$$P_{(x)}=x^{p-1}+x^{p-2}+....+1$$
Bài toán 2. [VMO-86]
Ch0 $P_{(x)}\in \mathbb{R}[x]$, $\deg P\leq n$, $P_{(k)}=2^k \forall k=\overline{1,n+1}$.
Tính $P_{(n+2)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-07-2013 - 12:01