Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR
$$\frac{a^2(a^3+1)+b^2(b^3+1)+c^2(c^3+1)}{4}\ge \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{b+a}$$
CMR:$$\frac{\sum a^2(a^3+1)}{4}\ge \frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{b+a}$$
Bắt đầu bởi Dung Dang Do, 17-01-2013 - 21:52
#1
Đã gửi 17-01-2013 - 21:52
Dung Dang Do
-
- Thành viên
-
- 524 Bài viết
Dũng Dang Dở
#2
Đã gửi 17-01-2013 - 22:28
maitienluat
-
- Thành viên
-
- 182 Bài viết
Trung sĩ
BĐT đã cho tương đương với:
$$\sum a^{5}+\sum a^{2}\geq 4\sum \frac{a^{3}}{b+c}$$
Theo BĐT Schur thì
$$\sum a^{3}(a-b)(a-c)\geq 0$$
Khai triển và để ý $abc=1$ ta có
$$\sum a^{5}+\sum a^{2}\geq \sum ab(a^{3}+b^{3})= \sum \frac{a^{3}+b^{3}}{c}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{a^{3}}{c}\geq \frac{4a^{3}}{b+c}$$
Xây dựng các BĐT tương tự và cộng lại ta suy ra
$$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{c}\geq \sum \frac{4a^{3}}{b+c}$$
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
$$\sum a^{5}+\sum a^{2}\geq 4\sum \frac{a^{3}}{b+c}$$
Theo BĐT Schur thì
$$\sum a^{3}(a-b)(a-c)\geq 0$$
Khai triển và để ý $abc=1$ ta có
$$\sum a^{5}+\sum a^{2}\geq \sum ab(a^{3}+b^{3})= \sum \frac{a^{3}+b^{3}}{c}$$
Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì
$$\frac{a^{3}}{b}+\frac{a^{3}}{c}\geq \frac{4a^{3}}{b+c}$$
Xây dựng các BĐT tương tự và cộng lại ta suy ra
$$\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{c}\geq \sum \frac{4a^{3}}{b+c}$$
Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 17-01-2013 - 22:28
- Mai Duc Khai, Dung Dang Do và WhjteShadow thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
