Chữ số đầu tiên của $x!$
#1
Đã gửi 18-01-2013 - 02:29
- hxthanh, WhjteShadow, demonhunter000 và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 13-10-2014 - 07:44
Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)
Giả sử tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn ĐK đề bài.
Dễ thấy rằng số $n$ đó chắc chắn lớn hơn $10$
$\Rightarrow 1<\frac{(n+8).(n+9)}{(n+2).(n+3)}< \frac{(10+8).(10+9)}{(10+2).(10+3)}=\frac{57}{26}$ (1)
Gọi $m_{k}$ là số chữ số của số $(n+k)!$
Số $(n+1)!$ bắt đầu bằng chữ số $1$ (2)
Số $(n+3)!$ bắt đầu bằng chữ số $3$ (3)
(2),(3) $\Rightarrow (n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}> \frac{3.10^{m_{3}-1}}{2.10^{m_{1}-1}}=1,5.10^{m_{3}-m_{1}}$
Và $(n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}< \frac{4.10^{m_{3}-1}}{1.10^{m_{1}-1}}=4.10^{m_{3}-m_{1}}$
Vậy $1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+2)(n+3)<4.10^{m_{3}-m_{1}}$ (4)
(1),(4) $\Rightarrow 1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+8)(n+9)<\frac{114}{13}.10^{m_{3}-m_{1}}$ (5)
(5) $\Rightarrow (n+9)!=(n+7)!.(n+8).(n+9)$ bắt đầu bằng chữ số từ $1$ đến $7$ (mâu thuẫn với điều giả sử ở trên)
(vì $7.1,5=10,5$ và $8.\frac{114}{13}\approx 70,1538$)
Điều đó chứng tỏ điều giả sử trên là sai $\Rightarrow$ không có số nguyên dương $n$ nào thỏa mãn ĐK đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-10-2014 - 14:59
- E. Galois, toanc2tb, mnguyen99 và 3 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh