Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $k_1;\,k_2;\,\cdots;\,k_n\in\mathbb{N}$ và $\;m_1;\,m_2;\,\cdots;\,m_n\in\mathbb{N}^*$ với $m_i\ge k_i\;\forall\,i=\overline{1;\,\cdots;\,n}.$
Chứng minh rằng: $C_{m_1}^{k_1}C_{m_2}^{k_2}\cdots C_{m_n}^{k_n}\le C_{m_1+m_2+\cdots+m_n}^{k_1+k_2+\cdots+k_n}.$

[gogo123]

Cho $k_1;\,k_2;\,\cdots;\,k_n\in\mathbb{N}$ và $\;m_1;\,m_2;\,\cdots;\,m_n\in\mathbb{N}^*$ với $m_i\ge k_i\;\forall\,i=\overline{1;\,\cdots;\,n}.$
Chứng minh rằng: $C_{m_1}^{k_1}C_{m_2}^{k_2}\cdots C_{m_n}^{k_n}\le C_{m_1+m_2+\cdots+m_n}^{k_1+k_2+\cdots+k_n}.$

Bài này đơn giản thôi:
Ta thấy $C_{n}^{k}$ chính là số cách chọn ra $k$ người từ $n$ người.
Như vậy $C_{m_1+m_2+...+m_n}^{k_1+k_2+...+k_n}$ chính là số tất cả cách chọn ra $k_1+k_2+...+k_n$ người từ $m_1+m_2+...+m_n$
Trong khi đó$C_{m_1}^{k_1}.C_{m_2}^{k_2}....C_{m_n}^{k_n}$ là tổng số cách chon đồng thời từ tập $m_1$ người $k_1$ người; tập $m_2$ người $k_2$ người;.....Cuối cùng chọn ra được $k_1+k_2+...+k_n$ người từ $m_1+m_2+...+m_n$ nhưng số cách chọn ở đây không thể phủ hết do có thể chọn cùng một số người từ 2 tập khác nhau.
Do đó số cách chọn ở dưới không lớn hơn số cách chọn ở trên. Hay ta có được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 19-01-2013 - 20:46

[Ispectorgadget]

Bài này còn 1 cách nữa
Để ý là $C_{n+k}^k=C_{n+k+1}^{k}-C_{n+k}^{k-1}$ và do đó mà có

$$C_{2n}^{n+1}=1+C_{n+1}^{1}+ C_{n+2}^{2}+...+ C_{2n-1}^{n-1} .$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy nữa là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-01-2013 - 20:52