1 reply to this topic

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

[no matter what]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Thực hiện qua 3 bước
(1) Dùng C-S đưa về cùng mẫu
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+b+c}}= \sum \sqrt{\frac{a^2(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
(2) Không dùng C-S trực tiếp mà tách theo kiểu sau
$\frac{\sum a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}= \frac{ \sum \sqrt{a} \sqrt{a(1+b+c)}}{a+b+c} \leq \frac{\sqrt{(a+b+c) \left [ \sum a(1+b+c) \right ]}}{ \sqrt{(\sum a)(\sum a)}}$
(3) Thu gọn (2) và C-S bước cuối $\frac{ \sqrt{(a+b+c) \left[ \sum a(1+b+c) \right] }}{\sqrt{(\sum a)(\sum a)}}= \sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}} \leq \sqrt{1+\frac{2 \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{3}} = \sqrt{3}$

@Toàn: Chỉnh cái TeX nhọc chết

Edited by Phạm Quang Toàn, 21-01-2013 - 12:51.