Chủ đề này có 1 trả lời

[lacduong2000]

cho $a,b\in z , n\geq 1.$
CMR: $ \exists\,k\in z $ , $\left ( k,n \right )=1$. Sao cho $a \equiv kb (modun \, n)$ ,
khi và chỉ khi $\left ( a,n \right )=\left ( b,n \right )$

[nguyenta98]

cho $a,b\in z , n\geq 1.$
CMR: $ \exists\,k\in z $ , $\left ( k,n \right )=1$. Sao cho $a \equiv kb (modun \, n)$ ,
khi và chỉ khi $\left ( a,n \right )=\left ( b,n \right )$

Giải như sau:
1) $a \equiv kb \pmod{n}$
Xét hệ dư sau: $1k,2k,3k,...,nk$ ta thấy chúng đều có số dư khác nhau khi chia cho $n$ thật vậy giả sử có $ik \equiv jk \pmod{n} \Rightarrow (i-j)k \vdots n \rightarrow i-j \vdots n$ (do $gcd(k,n)=1$) vô lí vì $1\le i,j\le n$ do đó khẳng định cm xong hay $1k,2k,...,nk$ lập thành hệ thặng dư đầy đủ $mod(n)$ nên tồn tại $x$ với $1\le x\le n$ để $xk \equiv a \pmod{n}$
Mặt khác $a \equiv kb \pmod{n} \Rightarrow xk \equiv kb \pmod{n} \Rightarrow x \equiv b \pmod{n}$ (do $gcd(k,n)=1$)
Hay khi ấy $x-b \vdots n$ gọi $gcd(x,n)=d,gcd(b,n)=e$ ta thấy $x-b \vdots n \vdots d$ nên $b \vdots d$ mà $n \vdots d$ nên $gcd(b,n) \vdots d \Rightarrow e \vdots d$ cm tương tự $e \vdots d$ từ đó suy ra $e=d$ nên $gcd(x,n)=gcd(b,n)$
Mặt khác $gcd(xk,n)=gcd(b,n)$ (do $gcd(k,n)=1$) do đó $gcd(a,n)=gcd(b,n)=1$ đây là $đpcm$
2) Điều ngược lại chưa chắc đã đúng, muốn đúng ta phải rút điều kiện đi thay lại thành $gcd\left(k,\dfrac{n}{gcd(a,n)}\right)=1$ thì mới được, thật vậy
$gcd(a,n)=gcd(b,n)=d \Rightarrow a=dx,b=dy,n=dz,gcd(x,z)=1,gcd(y,z)=1$
Khi ấy xét $x-y,x-2y,x-3y,...,x-zy$ ta thấy chúng có số dư khác nhau khi chia cho $z$ vì ngược lại thì $x-iy \equiv x-jy \pmod{z} \Rightarrow (i-j)y \vdots z \Rightarrow i-j \vdots z$ (do $gcd(y,z)=1$) suy ra vô lí vì $1\le i,j\le z$
Do đó chúng có số dư khác nhau khi chia cho $z$ nên tồn tại duy nhất một số $x-ky \vdots z$
Khi ấy $d(x-ky) \vdots dz \Rightarrow a-kb \vdots n$ nhưng $gcd\left(k,\dfrac{n}{gcd(a,n)}\right)=1$ nên có $đpcm$

P/S một ví dụ rằng điều ngược lại không đúng khi điều kiện không là $gcd\left(k,\dfrac{n}{gcd(a,n)}\right)=1$ đó là $a=2.9,b=2.8,d=2.7$ khi ấy $k=2$ nhưng $gcd(k,n)\neq 1$ vô lí